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Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 15/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $C$ eine \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {projektive Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} { C } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} ein nichtkonstanter Morphismus. Zeige, dass die nach Lemma 15.5 induzierte Abbildung \maabbeledisp {\varphi_*} { \operatorname{Div} { \left( C \right) } } { \operatorname{Div} { \left( {\mathbb P}^{1}_{K} \right) } \cong \Z } {D} { \varphi_*D } {,} einfach die \definitionsverweis {Gradabbildung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{ X^3+aX+b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Weierstraßgleichung}{}{} für eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} $E$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(X) }
{ \subseteq} { K(E) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} von $Y$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} und \maabbdisp {[n]} {E} {E } {} die Multiplikation mit $n$ auf $E$. Beschreibe die zugehörige Vorschubsabbildung der \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} \maabbeledisp {} {\operatorname{DKG} { \left( E \right) }} {\operatorname{DKG} { \left( E \right) } } {D} { [n]_*D } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige mit Satz 15.8, dass der \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} einer \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} $E$ die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.

}
{} {}