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Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 3/latex

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\setcounter{section}{3}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Definiere eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Menge
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{} derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive $n$-dimensionale Raum ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{V_+(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{V_+(Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Geraden in der projektiven Ebene
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} mit dem einzigen Schnittpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H \cap D }
{ = }{ \{ (0,0,1) \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,P' }
{ \notin }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verschiedene Punkte. Finde ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y,Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_+(F) \cap D }
{ = }{ H \cap D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ V_+(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P' }
{ \notin }{ V_+(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ \left( b_0 , \, \ldots , \, b_n \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte im \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_ib_j -a_jb_i }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $i,j$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right) }
{ \in }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt im \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.} Zeige, dass es eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass $P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} der Dimension $n$ über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(X_i) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } , D_+(X_j)\cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ \subset} {{\mathbb P}^{n}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die \zusatzklammer {nicht überall definierte} {} {} Übergangsabbildung von $D_+(X_i)$ nach $D_+(X_j)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man definiere den Begriff \stichwort {projektiv-linearer Unterraum} {} eines projektiven Raumes ${\mathbb P}^{n}_{K}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} die \definitionsverweis {projektive Ebene}{}{} über $K$. Zeige, dass zwei projektive Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L,M }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {V_+(6X-8Y+3Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { V_+(2X+9Y-5Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der projektiven Ebene.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {V_+(7X-7Y+6Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { V_+(8X+Y-4Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der projektiven Ebene.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge aller Geraden in der projektiven Ebene selbst eine projektive Ebene bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ {\mathbb F}_{ q } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} ${\mathbb P}^{n}_{K}$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots ,X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{} ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {projektive Nullstellenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(XYZ) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

}
{Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte
\mathl{(2,3,7)}{} und
\mathl{(1,5,-2)}{.}} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathbb P}^{n}_{K}$ ein projektiver Raum der Dimension $n$ und es seien
\mathl{X,Y \subseteq {\mathbb P}^{n}_{K}}{} projektiv-lineare Unterräume der Dimension $r$ und $s$. Es sei
\mathl{r+s \geq n}{.} Zeige, dass dann
\mathl{X \cap Y \neq \emptyset}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher \definitionsverweis {Körper}{}{} und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der projektive Raum. Charakterisiere die \definitionsverweis {homogenen Ideale}{}{} ${\mathfrak a}$, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_+({\mathfrak a}) }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {V { \left( X_0^2+X_1^2 + \cdots + X_n^2-1 \right) } }
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n+1 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und betrachte die Gesamtabbildung
\mathdisp {\varphi: Q \longrightarrow { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \longrightarrow {\mathbb P}^{n}_{{\mathbb C}}} { , }
wobei hinten die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} steht. Ist $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{?} Wie verhält sich $\varphi$ zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell
\mathl{2n+1}{-}dimensionale Sphäre
\mathl{S^{2n+1} \subset \R^{2n+2} \cong {\mathbb C}^{n+1}}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_m}{} eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform
\mathl{L \in K[X_0 , \ldots , X_n]}{} derart, dass all diese Punkte auf der durch $L$ definierten offenen Teilmenge $D_+(L)$ liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} der Dimension $n$ über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \left( a_0 , \, a_1 , \, \ldots , \, a_n \right) }
{ \in }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt davon mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i,a_j }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ D_+(X_i) \cap D_+(X_j) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die affinen Koordinaten des Punktes in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(X_i) }
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind
\mathl{\left( { \frac{ a_0 }{ a_i } } , \, { \frac{ a_1 }{ a_i } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_{i-1} }{ a_i } } , \, { \frac{ a_{i+1} }{ a_i } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_n }{ a_i } } \right)}{} und die affinen Koordinaten des Punktes in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(X_j) }
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind
\mathl{\left( { \frac{ a_0 }{ a_j } } , \, { \frac{ a_1 }{ a_j } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_{j-1} }{ a_j } } , \, { \frac{ a_{j+1} }{ a_j } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_n }{ a_j } } \right)}{.} Wir setzen den Polynomring zu $D_+(X_i)$ als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_i }
{ = }{K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , { \frac{ X_1 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_i } }] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {als Unterring des \definitionsverweis {rationalen Funktionenkörpers}{}{}
\mathl{K(X_0,X_1 , \ldots , X_n )}{}} {} {} und entsprechend den Polynomring zu $D_+(X_j)$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_j }
{ =} { K[ { \frac{ X_0 }{ X_j } } , { \frac{ X_1 }{ X_j } } , \ldots , { \frac{ X_{j-1} }{ X_j } }, { \frac{ X_{j+1} }{ X_j } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_j } }] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} an. Zeige, dass der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} von $P$ in $D_+(X_i)$ mit dem lokalen Ring von $P$ in $D_+(X_j)$ als Unterring von
\mathl{K(X_0,X_1 , \ldots , X_n )}{} übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der zugehörige \definitionsverweis {projektive Raum}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1} } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} \aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$ einen \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K} } { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \varphi \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } {,} induziert. }{Bestimme das Urbild von
\mathl{D_+(X_i)}{} in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus? }{Zeige, dass \mathkor {} {\varphi_1} {und} {\varphi_2} {} genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\neq 0$ ineinander überführbar sind. }{Induziert jede lineare Abbildung \maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1} } {} einen Morphismus \maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K} } {?} }

}
{} {} Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem \stichwort {projektiv-linearen Koordinatenwechsel} {.} Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } / { \left( K^{\times} \cdot \operatorname{Id} \cap \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } \right) }} { }
heißt \definitionswort {projektive spezielle lineare Gruppe}{.} Sie wird mit
\mathdisp {\operatorname{PSL}_{ n } \! { \left( K \right) }} { }
bezeichnet.





\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P,Q \in {\mathbb P}^{n}_{K}}{} Punkte im \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K} } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P) }
{ = }{Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1,P_2,P_3 }
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_1,Q_2,Q_3 }
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} jeweils drei \zusatzklammer {untereinander verschiedene} {} {} Punkte auf der \definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es einen $K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P_i) }
{ = }{ Q_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{1,2,3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der zugehörige \definitionsverweis {projektive Raum}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1} } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K} } { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \psi \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } {,} der zugehörige \definitionsverweis {Automorphismus}{}{.} Zeige, dass ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{ K^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zu $\varphi$ ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} von $\psi$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb K} = \R}{} oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mathl{H \subset {\mathbb K}^{n+1}}{} ein $n$-dimensionaler \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,} der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mathl{U \subseteq H}{} eine in
\mathl{H \cong {\mathbb K}^n}{} offene Menge \zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {} und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.

}
{} {}