Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Satz von Liouville nicht für eine offene Kreisscheibe gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und die punktierte offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$ nicht biholomorph zueinander sind.

Aufgabe

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra direkt mit dem Maximumsprinzip.

Aufgabe *

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Determinante nicht konstant sein muss.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine ganze Funktion. Zeige, dass das Bild von ${}f$ dicht in ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 15.5 der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k},$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 15.5 der komplexen Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

auf einem Gebiet ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und einem Punkt ${}P\in U$ nennt man dasjenige ${}k$ mit

${}f(P)=f'(P)=f^{\prime \prime }(P)=\ldots =f^{(k-1)}(P)=0\,$

und

${}f^{(k)}(P)\neq 0\,$

die Nullstellenordnung von ${}f$ in ${}P$.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ nicht konstant. Zeige, dass der lokale Exponent von ${}f$ in ${}P$ mit der Nullstellenordnung von ${}f-f(P)$ in ${}P$ übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms

${}f={\left(z-a_{1}\right)}^{k_{1}}\cdots {\left(z-a_{m}\right)}^{k_{m}}\,$

(mit verschiedenen ${}a_{i}$) in den Punkten ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms ${}f$, dessen Ableitung durch

${}f'(z)={\left(z-a_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots {\left(z-a_{m}\right)}^{r_{m}}\,$

(mit verschiedenen ${}a_{i}$) gegeben ist, in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte ${}P\in U$, für die der lokale Exponent ${}\geq 2$ ist, diskret ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass der lokale Exponent ${}k$ von ${}f$ im Punkt ${}P$ mit der Ordnung von ${}f-f(0)$ in Ring der konvergenten Potenzreihen ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}\varphi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion mit ${}\varphi (P)=Q$. Es sei ${}k$ der lokale Exponent von ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ und sei

$\varphi ^{*}\colon {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$

der zugehörige Ringhomomorphismus zwischen den konvergenten Potenzreihenringen. Zeige, dass

${}\operatorname {ord} {\left(\varphi (h)\right)}=k\operatorname {ord} {\left(h\right)}\,$

für alle ${}h\in {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine ganze Funktion. Es gelte eine Abschätzung der Form

${}\vert {f(z)}\vert \leq a\vert {z}\vert ^{n}\,$

für alle ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert \geq B$ für ein ${}B\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ eine Polynomfunktion vom Grad ${}\leq n$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 15.5 der komplexen Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass es zu jedem Punkt ${}P\in U$ eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ derart gibt, dass die Anzahl der Punkte in den Fasern ${}f^{-1}(Q)$ zu ${}Q\in V$, ${}Q\neq P$, konstant ist.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, nichtkonstante holomorphe Funktion, deren lokaler Exponent gleich ${}k$ bzw. ${}\ell$ sei.

1. Zeige, dass der lokale Exponent von ${}f+g$ zumindest ${}\operatorname {min} \left(k,\,\ell \right)$ ist (es sei ${}f+g\neq 0$).
2. Zeige, dass der lokale Exponent von ${}f\cdot g$ zwischen ${}\operatorname {min} \left(k,\,\ell \right)$ und ${}k+\ell$ liegt.