Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 16/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne das Produkt der Laurent-Polynome
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass man jedes Laurent-Polynom über einem Körper in der Form
mit einem Polynom und einem schreiben kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der Laurent-Polynome über einem Körper (mit der natürlichen Addition und Multiplikation) ein Zwischenring zwischen dem Polynomring und dem Körper der rationalen Funktionen ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Ist die „Umentwicklung“ eines Laurent-Polynoms wieder ein Laurent-Polynom?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe konvergiert und welche Funktion sie darstellt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Laurent-Reihe in keinem Punkt konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne Laurent-Reihe für die Punkte
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Laurent-Reihe zu ausschließlich negativen Indizes und es gebe ein derart, dass die Reihe konvergiert. Zeige, dass für gegen konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Laurent-Reihe der Ableitung einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion durch die formale Ableitung der beschreibenden Laurent-Reihe zu gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keine auf einer punktierten Kreisscheibe konvergente Laurent-Reihe gibt, deren Ableitung gleich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei die Laurent-Reihe einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion und es sei . Zeige, dass man durch gliedweises integrieren eine Laurent-Reihe erhält, deren Ableitung gleich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine holomorphe Funktion. Zeige, dass es maximale Kreisringe mit Mittelpunkt derart gibt, dass auf diesen Kreisringen jeweils durch eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt beschrieben wird.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt für die rationale Funktion .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt für die rationale Funktion .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne das Produkt der Laurent-Polynome
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die rationale Funktion, die durch die Laurent-Reihe beschrieben wird.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt für die rationale Funktion .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene und der nach außen unbeschränkte Kreisring nicht biholomorph zueinander sind.