Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {kompakt konvergenten}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass die Folge auch
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }}{} eine komplexe
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Grenzfunktion $f$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z)
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n a_iz^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} kompakt gegen $f$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge der Potenzfunktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(z)
}
{ = }{ z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf der offenen Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} nicht
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{,}
aber
\definitionsverweis {lokal gleichmäßig}{}{}
konvergiert.
}
{} {}
Es sei
\mathbed {X_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{.}
Unter dem
\definitionswort {Produktraum}{}
versteht man die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\prod_{i \in I} X_i}{,} versehen mit der
\definitionswort {Produkttopologie}{,}
bei der beliebige Vereinigungen von Mengen der Form
\mathl{\prod_{i \in I} U_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i
}
{ \subseteq }{ X_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i
}
{ = }{ X_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis auf endlich viele Ausnahmen als offen erklärt werden.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {M_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{\prod_{n \in \N} M_n}{} ein metrischer Raum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{} unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {X} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Folge genau dann in der \definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn sie \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}
}
{} {}
Ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} $X$ heißt \definitionswort {lokal kompakt}{,} wenn jeder Punkt eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {Umgebung}{}{} besitzt.
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
$Z$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Abb} \, { \left( X , Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Menge von Abbildungen von $X$ nach $Z$. Man nennt $T$
\definitionswort {gleichgradig stetig}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x'
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man nennt $T$
\definitionswort {gleichgradig stetig}{,}
wenn $T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {lokal kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
besitze, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
versehen mit der
\definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{.}
Zeige, dass $T$ genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{$T$ ist
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}
}{$T$ ist
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{.}
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Auswertungsbild
\mathl{{ \left\{ f(x) \mid f \in T \right\} }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\maabb {f_k} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{,}
die gegen die Grenzfunktion $f$
\definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass die Koeffizienten der
\definitionsverweis {Potenzreihenentwicklung}{}{}
von $f_k$ in $P$ gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ in $P$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge von
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf $U$, die nicht
\definitionsverweis {lokal beschränkt}{}{}
sei. Zeige, dass es dann eine Folge in $T$ gibt, die keine
\definitionsverweis {kompakt konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
besitzt.
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\maabbdisp {g_k} {X} { {\mathbb C}
} {}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {normal konvergent}{,}
wenn es für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k \in \N} \Vert {g_k {{|}} _U} \Vert_{ \text{sup} }
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabb {g_k} {X} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {normal konvergente}{}{}
Reihe von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { \sum_{ k= 0}^n g_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {lokal gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {g_k} {X} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {normal konvergente}{}{} Reihe von \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der $g_k$ normal konvergent ist.
}
{} {}
Die \definitionswort {Riemannsche $\zeta$-Funktion}{} ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Realteil
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( s \right) }
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta(s)
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für eine komplexe Zahl $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( s \right) }
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktionenfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_n(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {normal konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Riemannsche Zetafunktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta(z)
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty { \frac{ 1 }{ n^z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Satz von Mittag-Leffler} {} und ist eine weitgehende Verallgemeinerung von
Aufgabe 19.23.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\mathl{\sum_{P \in U} h_P}{} eine
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{}
auf $U$. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $U$ gibt, die diese Hauptteilverteilung realisiert.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {lokal kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass die Funktionenfolge genau dann
\definitionsverweis {kompakt konvergent}{}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {lokal gleichmäßig konvergent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $T$ und eine Funktionenfolge \maabbdisp {f_n} {T} {\R } {,} die \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {lokal gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {punktweise konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\maabb {f_k} {U} { {\mathbb C}
} {}
von
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer holomorphen Grenzfunktion derart, dass die Koeffizienten der
\definitionsverweis {Potenzreihenentwicklung}{}{}
von $f_k$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ in $P$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{,}
$f_k$ aber nicht
\definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die reelle Funktionenfolge
\maabbdisp {f_n} {\R} {\R
} {,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(x)
}
{ =} { { \frac{ \sin \left( n! x \right) }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Nullfunktion konvergiert, dass aber die Folge der
\definitionsverweis {Ableitungen}{}{}
$f_n'$ nicht
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
}
{} {}