Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Aufgabe 4.1 ändern
Zeige und .
Aufgabe * Aufgabe 4.2 ändern
Es sei eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien
in einem Punkt (reell) total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion (Multiplikation in ) total differenzierbar ist, und dass
gilt.
Aufgabe Aufgabe 4.3 ändern
Es sei eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien
in einem Punkt (reell) total differenzierbare Abbildungen, wobei sei. Zeige, dass dann auch die Quotientenfunktion (Division in ) total differenzierbar ist, und dass dabei
gilt.
Aufgabe * Aufgabe 4.4 ändern
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel
auf dem nullstellenfreien Ort zu erfüllt.
Aufgabe Aufgabe 4.5 ändern
Es sei offen und seien eine reell total differenzierbare Abbildung und sei . Zeige
Aufgabe Aufgabe 4.6 ändern
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige
Aufgabe * Aufgabe 4.7 ändern
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung die Produktregel
erfüllt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitungen und von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitung von
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Berechne von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Skizziere das Bild von einigen kartesischen (horizontalen und vertikalen) Koordinatenlinien unter der komplexen Exponentialfunktion
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei offen,
komplex differenzierbar und ein Punkt mit . Es seien
differenzierbare Kurven mit und . Zeige, dass der Winkel zwischen und mit dem Winkel zwischen und übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei , , und seien
differenzierbare Kurven mit und . Zeige, dass der Winkel zwischen und nicht mit dem Winkel zwischen und übereinstimmt. Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie sich die Winkel zueinander verhalten?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine offene Teilmenge und es sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann antiholomorph ist, wenn das totale Differential - antilinear ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine offene Teilmenge und es sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann antiholomorph ist, wenn für die holomorphe Ableitung gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine offene Teilmenge und es sei
eine antiholomorphe Funktion mit nirgends verschwindender (reeller) Jacobimatrix. Zeige, dass in jedem Punkt winkeltreu ist (also dass die Jacobimatrix in jedem Punkt winkeltreu ist).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitung von
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 4.18 ändern
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige
auf dem nullstellenfreien Ort zu .
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen von nach , ob dazu die holomorphe bzw. die antiholomorphe Ableitung existieren und bestimme sie gegebenenfalls.
- ,
- ,
- .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Gebiet und es sei
eine reell stetig differenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft, dass das totale Differential zu in jedem Punkt winkeltreu (und insbesondere invertierbar) ist. Zeige, dass entweder holomorph oder antiholomorph ist.