Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial z }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial \overline{ z } }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraumes}{}{}
und es seien
\maabbdisp {f,g} {U} { \Complex
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {reell} {} {}
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion
\mathl{fg}{}
\zusatzklammer {Multiplikation in $\Complex$} {} {}
total differenzierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Dfg\right)_{P}
}
{ =} { f(P) \left(Dg\right)_{P} + g(P) \left(Df\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraumes}{}{}
$V$ und es seien
\maabbdisp {f,g} {U} { \Complex
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {reell} {} {}
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei. Zeige, dass dann auch die Quotientenfunktion
\mathl{f/g}{}
\zusatzklammer {Division in $\Complex$} {} {}
total differenzierbar ist, und dass dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D { \frac{ f }{ g } } \right)_{P}
}
{ =} { { \frac{ g(P) \left(Df\right)_{P} - f(P) \left(Dg\right)_{P} }{ g(P)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {G} {{\mathbb C}
} {}
reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen. Zeige, dass die
\definitionsverweis {holomorphe Ableitung}{}{}
die Quotientenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial { \frac{ f }{ g } } }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ g { \frac{ \partial f }{ \partial z } } - f { \frac{ \partial g }{ \partial z } } }{ g^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$ erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabb {f} {G} {{\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial ( cf ) }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { c { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {G} {{\mathbb C}
} {}
reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial ( f +g) }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } +{ \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {G} {{\mathbb C}
} {}
reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen. Zeige, dass die
\definitionsverweis {antiholomorphe Ableitung}{}{}
${ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }$ die Produktregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f g) }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { f { \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Ableitungen
\mathkor {} {{ \frac{ \partial }{ \partial z } }} {und} {{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }} {}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(z)
}
{ = }{ z^a \overline{ z }^b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Ableitung
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(z)
}
{ =} { \overline{ z }^3+5 z^2 \overline{ z }^2 -3 z^2 \overline{ z } + z \overline{ z }^2 +2 z \overline{ z } +4 z +3 \overline{ z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mathl{\arctan { \left( z \overline{ z } \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere das Bild von einigen kartesischen \zusatzklammer {horizontalen und vertikalen} {} {} Koordinatenlinien unter der \definitionsverweis {komplexen Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { \exp z } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {[- \epsilon, \epsilon] } { U
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0)
}
{ = }{ \gamma_2(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'_1(0) , \gamma'_2(0)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der Winkel zwischen
\mathkor {} {\gamma'_1(0)} {und} {\gamma'_2(0)} {}
mit dem Winkel zwischen
\mathkor {} {(f \circ \gamma_1)'(0)} {und} {(f \circ \gamma_2)'(0)} {}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und seien
\maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {[- \epsilon, \epsilon] } { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0)
}
{ = }{ \gamma_2(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'_1(0) , \gamma'_2(0)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der Winkel zwischen
\mathkor {} {\gamma'_1(0)} {und} {\gamma'_2(0)} {}
nicht mit dem Winkel zwischen
\mathkor {} {(f \circ \gamma_1)'(0)} {und} {(f \circ \gamma_2)'(0)} {}
übereinstimmt. Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie sich die Winkel zueinander verhalten?
}
{} {}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Eine Abbildung
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
heißt
\definitionswort {antiholomorph}{,}
wenn
\mathl{\overline{ f }}{}
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {antiholomorph}{}{}
ist, wenn das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {antiholomorph}{}{}
ist, wenn für die
\definitionsverweis {holomorphe Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {antiholomorphe Funktion}{}{}
mit nirgends verschwindender
\zusatzklammer {reeller} {} {}
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{.}
Zeige, dass $f$ in jedem Punkt
\definitionsverweis {winkeltreu}{}{}
ist
\zusatzklammer {also dass die Jacobimatrix in jedem Punkt winkeltreu ist} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{1}
{
Bestimme die Ableitung
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(z)
}
{ =} { \overline{ z }^4-6 z^3 \overline{ z }^3 -4 z^2 \overline{ z }^3 + 5 { \mathrm i} z \overline{ z }^2 +3 z \overline{ z } +4 z + { \left( 2+5 { \mathrm i} \right) } \overline{ z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {G} {{\mathbb C}
} {}
reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial { \frac{ f }{ g } } }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { { \frac{ g { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } - f { \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } } }{ g^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{
Bestimme für die folgenden Funktionen von $\Complex$ nach $\Complex$, ob dazu die \definitionsverweis {holomorphe}{}{} bzw. die \definitionsverweis {antiholomorphe Ableitung}{}{} existieren und bestimme sie gegebenenfalls. \aufzaehlungdrei{ $\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }$, }{ $\betrag { z }$, }{ $\betrag { z }^2$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Abbildung mit der Eigenschaft, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
zu $f$ in jedem Punkt
\definitionsverweis {winkeltreu}{}{}
\zusatzklammer {und insbesondere invertierbar} {} {}
ist. Zeige, dass $f$ entweder
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
oder
\definitionsverweis {antiholomorph}{}{}
ist.
}
{} {}