Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von $\Z$ und von
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein Körper sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
\aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{,}
so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$.
} {Ist $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
so gilt hiervon auch die Umkehrung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ zwei Elemente
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
genau dann
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind, wenn für die
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Ra
}
{ = }{ Rb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichne $\nu_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.
a) Zeige: die Abbildung \maabb {\nu_p} { \Z \setminus \{0\} } { \N } {} ist surjektiv.
b) Zeige: es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu_p(nm)
}
{ = }{ \nu_p (n)+ \nu_p(m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Finde eine Fortsetzung
\maabb {\nu_p} { \Q \setminus \{0\} } { \Z
} {}
der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \Q^{\times}
}
{ = }{ \Q \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation und $\Z$ mit der Addition versehen ist} {} {.}
d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.
}
{} {}
Zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
$p$ heißt die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{up^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
bezeichnet, die \definitionswort {Ordnung}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{ord} \, (f)}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
Zu einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ ist der \definitionswort {Quotientenkörper}{}
\mathl{Q(R)}{} als die Menge der formalen Brüche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q)
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$K[X]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ und
\mathl{K(X)}{} der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { { \left\{ f \in K(X) \mid f \text{ ist im Punkt } a \text{ definiert} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $R$ ein Unterring von $K(X)$ ist.
}{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { K[X]_{(X-a)}
}
{ \defeq} { { \left\{ { \frac{ P }{ Q } } \mid Q \text{ ist (nach Kürzung) kein Vielfaches von } X-a \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {Ringe}{}{.}
Eine Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
heißt \definitionswort {Ringhomomorphismus}{,} wenn folgende Eigenschaften gelten:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(a+b)
}
{ = }{\varphi(a) + \varphi(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(a \cdot b)
}
{ = }{\varphi(a) \cdot \varphi(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbdisp {} {K[ \![T]\! ] } { K
} {,}
die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper,
\mathl{{\mathfrak m}=(T)\subset K[T]}{} das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R=K[T]_{\mathfrak m}}{.} Definiere einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {R} {K[ \![T]\! ]
} {}
mit
\mathl{\varphi(T)=T}{,} wobei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} den
\definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{(T)
}
{ \subset }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zum Nullpunkt gehörige
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[T]_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {} {R} { K[ \![T]\! ]
} {}
der
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
aus
Aufgabe 9.14.
Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von Elementen nicht ändert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $K(T)$ der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Finde einen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T]
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.}
Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1+T}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ Z^2+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Potenzreihe zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ F } }}{} bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element
\mathl{T+2}{} eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswortenp{formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil}{} ist eine unendliche Summe der Form
\mathdisp {F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z} { . }
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen
\zusatzklammer {mit geeigneten Ringoperationen} {} {}
isomorph zum
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Potenzreihenringes}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man die konstante
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 9.18.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (S-1)^2-1
}
{ =} { S^2-2S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zum Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ 2S^3 +S^2+S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über dem Körper $\Z/(3)$ die Koeffizienten
\mathl{a_0,a_1,a_2,a_3}{} der Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_n T^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ = }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } S ^{ j }
}
{ \in }{ K[ \![S]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine formale Potenzreihe mit
\mathkon { b_0 =0 } { und } { b_1 = 1 }{ ,} die wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ S+S^2 H(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } a_{ n } T ^{ n }
}
{ \in }{ KT
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ = }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(F)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ T- F^2 \cdot H(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{}
die Potenzreihe zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \cos z } }}{} bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (S-1)^3+1
}
{ =} { S^3-3S^2+3S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne zum Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ 3S^4+ S^3 +2S^2+3S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über dem Körper $\Z/(5)$ die Koeffizienten
\mathl{a_0,a_1,a_2,a_3,a_4}{} der Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_n T^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ = }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}