Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Definitionsabfrage

Definition:Differenzierbarkeit

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Definition:Höhere Ableitungen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal differenzierbar ist, wenn ${}f$ ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung ${}f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)})'(z)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

Definition:Ganze Funktion

Eine Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die in jedem Punkt komplex differenzierbar ist, heißt ganze Funktion.

Definition:Stammfunktion

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Eine Funktion

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

Definition:Gebiet

Eine zusammenhängende offene Teilmenge ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt Gebiet.

Definition:Biholomorphe Funktion

Eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow V$ zwischen offenen Mengen ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt biholomorph, wenn sie bijektiv und ihre Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist.

Definition:Gebrochen-lineare Funktion

Zu komplexen Zahlen ${}a,b,c,d\in {\mathbb {C} }$ mit

${}ad-bc\neq 0\,$

nennt man die Abbildung

${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$

eine gebrochen-lineare Funktion.

Definition:Obere Halbebene

Unter der oberen Halbebene in ${}{\mathbb {C} }$ versteht man

${}{\mathbb {H} }={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}>0\right\}}\,.$

Definition:Offener Kreisring

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}0\leq r<R$ reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring versteht man die Menge

${}U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$

Definition:Punktierte Kreisscheibe

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}r>0$ eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe (mit Mittelpunkt ${}a$ und Radius ${}r$) versteht man die Menge

$U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}.$

Definition:Antilineare Abbildung

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt antilinear (oder semilinear), wenn

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,$

für alle ${}u,v\in V$ und wenn

${}\varphi (\lambda v)={\overline {\lambda }}\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ und ${}\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.

Definition:Totale Differenzierbarkeit

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt ${}P\in G$, wenn es eine ${}{\mathbb {K} }$- lineare Abbildung ${}L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle ${}v\in V$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.

Diese lineare Abbildung ${}L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von ${}\varphi$ an der Stelle ${}P$ und wird mit

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bezeichnet.

Definition:Holomorphe Ableitung

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$

die holomorphe Ableitung von ${}f$.

Definition:Antiholomorphe Ableitung

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$

die antiholomorphe Ableitung von ${}f$.

Definition:Winkeltreue Abbildung

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}u,v\in V$ die Beziehung

${}\angle (\varphi (u),\varphi (v))=\angle (u,v)\,$

gilt.

Definition:Offene Abbildung

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Definition:Reihenkonvergenz

Man sagt, dass eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{n}$ konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,$

konvergiert.

Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

Definition:Cauchy-Produkt

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Definition:Potenzreihe

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

die Potenzreihe in ${}z$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Definition:Die geometrische Reihe

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$

die geometrische Reihe in ${}z$.

Definition:Exponentialreihe

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}z$.

Definition:Kosinusreihe

Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe zu ${}z$.

Definition:Sinusreihe

Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}z$.

Definition:Punktweise konvergente Funktionenfolge

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

(in ${}{\mathbb {K} }$) konvergiert.

Definition:Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

gibt.

Definition:Supremumsnorm

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann nennt man

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}\infty$.

Definition:Konvergenzradius

Für eine Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

heißt

${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}$

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}=\infty$.

Definition:Limes superior

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen und es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man

${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}\,$

und

${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$

und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als ${}\infty$ bzw. als ${}-\infty$ zu interpretieren).

Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition:Formale Potenzreihe (eine Variable)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}T$ eine Variable. Eine formale Potenzreihe in ${}T$ über ${}K$ ist ein Ausdruck der Form

${}F=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}T^{n}\,,$

mit ${}a_{n}\in K$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Definition:Einsetzen von Potenzreihen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe. Es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch

${}c_{k}=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\,$

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten ${}s$-Tupel ${}(j_{1},\ldots ,j_{s})\in \mathbb {N} _{+}^{s}$ summiert.

Definition:Ring der konvergenten Potenzreihen

Man nennt den Ring aller in einer offenen Umgebung von ${}0\in {\mathbb {C} }$ konvergenten Potenzreihen den Ring der konvergenten Potenzreihen.

Definition:t-Norm einer Potenzreihe

Für eine komplexe Potenzreihe ${}F=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ und eine reelle Zahl ${}t\in \mathbb {R} _{+}$ nennt man

${}\Vert {F}\Vert _{t}:=\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert t^{n}\,$

die ${}t$-Norm von ${}F$. Ihr Wert liegt in ${}\mathbb {R} _{+}$ oder ist gleich ${}\infty$.

Definition:Komplex-analytische Funktion

Eine Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt ${}w\in U$ lokal durch eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}w$ beschrieben werden kann.

Definition:Differentialform ersten Grades

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Eine ${}1$-Form (oder Differentialform ersten Grades) auf ${}G$ mit Werten in ${}W$ ist eine Abbildung

$\omega \colon G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}.$

Definition:Holomorphe Differentialform

Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und einer holomorphen Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Differentialform ${}fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}U$.

Definition:Exakte Differentialform

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Die Differentialform ${}\omega$ heißt exakt, wenn es eine total differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow W$ mit ${}\omega =d\varphi$ gibt.

Definition:Äußere Ableitung einer 1-Form

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$, die bezüglich einer Basis von ${}V$ mit Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Beschreibung

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}dx_{i}\,$

mit ${}W$-wertigen differenzierbaren Funktionen

$\psi _{i}\colon U\longrightarrow W$

besitze. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung von ${}\omega$ die ${}2$-Form

${}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d\psi _{j}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\right)}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$

Definition:Geschlossene Differentialform

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Die Differentialform ${}\omega$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.

Definition:Zurückgezogene Differentialform

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}U'\subseteq V'$ eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V'$ und

$\varphi \colon U'\longrightarrow U$

eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf ${}U'$ mit Werten in ${}W$, die einem Punkt ${}P\in U'$ die lineare Abbildung ${}\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V',W\right)}$ zuordnet, die zurückgezogene Differentialform.

Definition:Wegintegral zu einer 1-Form

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$ eine messbare ${}W$-wertige Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Definition:Sternförmig

Eine Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes ${}P\in T$, wenn für jeden Punkt ${}Q\in T$ die Verbindungsstrecke ${}sQ+(1-s)P$, ${}s\in [0,1]$, ganz in ${}T$ liegt.

Definition:Laurent-Reihe

Eine Laurent-Reihe über ${}{\mathbb {K} }$ in ${}z$ ist ein formaler Ausdruck der Form ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}\in {\mathbb {K} }$.

Definition:Konvergenz einer Laurent-Reihe

Eine Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ über ${}{\mathbb {K} }$ konvergiert in ${}z$, wenn die Reihen ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ und ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ konvergieren.

Definition:Hauptteil (Laurent-Reihe)

Zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ nennt man die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ den Hauptteil.

Definition:Nebenteil (Laurent-Reihe)

Zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ nennt man die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ den Nebenteil.

Definition:Meromorphe Funktion

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion auf ${}U$ ist gegeben durch eine diskrete Menge ${}D\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion

$f\colon U\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart, dass für jedes ${}w\in D$ der Limes ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)$ in ${}{\mathbb {C} }$ existiert oder gleich ${}\infty$ ist.

Definition:Ordnung

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$. Es sei ${}P\in U$ und sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$. Dann nennt man das minimale ${}k$ mit ${}c_{k}\neq 0$ die Ordnung von ${}f$ in ${}P$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ bezeichnet.

Definition:Hauptteil

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf ${}U$ mit der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}(z-P)^{n}=\sum _{n=k}^{-1}c_{n}(z-P)^{n}$ den Hauptteil der Funktion in ${}P$.

Definition:Isolierte Singularität

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass ${}f$ eine isolierte Singularität im Punkt ${}a$ besitzt.

Definition:Hebbare Singularität

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ eine hebbare Singularität besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ${}U$ gibt, die ${}f$ fortsetzt.

Definition:Pol (holomorphe Funktion)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ einen Pol besitzt, wenn ${}f$ keine hebbare Singularität ist, und es ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass ${}(z-a)^{n}f$ zu einer holomorphen Funktion auf ${}U$ fortsetzbar ist.

Definition:Wesentliche Singularität

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ eine wesentliche Singularität besitzt, wenn ${}a$ weder eine hebbare Singularität noch ein Pol von ${}f$ ist.

Definition:Residuum

Es sei

$f\colon U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe. Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$. Dann nennt man den Koeffizienten ${}c_{-1}$ das Residuum von ${}f$ in ${}P$. Es wird mit ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ bezeichnet.

Definition:Relative Homotopie von Wegen

Es sei ${}I=[0,1]$ und seien ${}\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\rightarrow X$ stetige Wege in einen topologischen Raum ${}X$ mit der Eigenschaft, dass ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ und ${}\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$ gilt. Eine Homotopie relativ zu ${}\{0,1\}$ zwischen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ ist eine stetige Abbildung

$H\colon I\times I\longrightarrow X,$

die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. ${}H(s,0)=\gamma _{1}(s)$ für alle ${}s\in I$.
2. ${}H(s,1)=\gamma _{2}(s)$ für alle ${}s\in I$.
3. ${}H(0,t)=\gamma _{1}(0)$ für alle ${}t\in I$.
4. ${}H(1,t)=\gamma _{1}(1)$ für alle ${}t\in I$.

Definition:Fundamentalgruppe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x_{0}\in X$ ein Punkt. Unter der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ von ${}X$ mit Aufpunkt ${}x_{0}$ versteht man die Menge aller Homotopieklassen von stetigen geschlossenen Wege mit Anfangs- und Endpunkt ${}x_{0}$ mit der Hintereinanderlegung von Wegen als Verknüpfung.

Definition:Einfach zusammenhängender Raum

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in ${}X$ nullhomotop ist.

Definition:Kontrahierbarer Raum

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt ${}P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

derart gibt, dass die Eigenschaften

1. ${}H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
2. ${}H(-,1)=P$,
3. ${}H(P,t)=P$ für alle ${}t\in [0,1]$

gelten.

Definition:Überlagerung

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung

$p\colon Y\longrightarrow X$

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume ${}F_{i}$, ${}i\in I$, derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu ${}U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${}U_{i}$ verträglich sind.

Definition:Liftung eines Weges

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

nennt man einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

mit

${}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}\,$

eine Liftung von ${}\gamma$.

Definition:Windungszahl

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{a\}$

ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann nennt man

${}\operatorname {ind} _{\gamma }(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-a}}\,$

die Windungszahl von ${}\gamma$ um ${}a$.

Definition:Kompakt konvergente Funktionenfolge

Es sei ${}T$ ein topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge ${}K\subseteq T$ gleichmäßig konvergiert.

Definition:Gitter (${}{\mathbb {C} }$)

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ versteht man ein vollständiges Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }$.

Definition:Elliptische Funktion

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Eine meromorphe Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt elliptisch bezüglich ${}\Gamma$ oder ${}\Gamma$-doppeltperiodisch, wenn

${}f(z)=f(z+v)\,$

für alle ${}v\in \Gamma$ gilt.

Definition:Körper der elliptischen Funktionen

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich ${}\Gamma$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.

Definition:Die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

$\wp \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)},$

die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion zum Gitter ${}\Gamma$.

Definition:Eisensteinreihe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann heißt

${}G_{k}(\Gamma ):=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\,$

die Eisensteinreihe zum Gitter ${}\Gamma$ und zum Gewicht ${}k$.