Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Wegintegrale}
\inputdefinition
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
$W$-wertige
\definitionsverweis {Differentialform}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {G
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} {
\int_{ [a,b] } \gamma^* \omega
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } \omega ( \gamma(t); \gamma'(t)) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Wegintegral}{} von $\omega$ längs $\gamma$.
}
Dabei ist $\gamma^* \omega$ der
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
der Differentialform $\omega$ auf das reelle Intervall $[a,b]$, der die Gestalt
\mathl{g(t)dt}{} mit einer messbaren Abbildung
\maabbdisp {g} {[a,b]} { W
} {}
besitzt. Integriert wird dann die Abbildung $g$ über die Komponenten. Wichtig sind insbesondere stetige Differentialformen. Wenn der Weg nur stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, so definiert man das Wegintegral als Summe der Wegintegrale zu den stetig differenzierbaren Teilwegen. Für $W$ sind hauptsächlich die Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
relevant. Die Differentialformen werden zumeist stetig und nicht nur messbar sein.
\inputbemerkung
{}
{
Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} \zusatzklammer {bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld} {} {} eine Kraft; das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} ist dann der \stichwort {Arbeitsaufwand} {} oder die \stichwort {Energie} {,} die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.
}
\inputbemerkung
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
wird folgendermaßen berechnet. Es sei $\omega$ eine reellwertige $1$-Form auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen in einem endlichdimensionalen
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
auf dem eine Basis mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} fixiert sei. Die Differentialform ist dann nach
Lemma 11.3
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { f_1dx_1 + \cdots + f_ndx_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, wobei die
\maabb {f_j} {G} { {\mathbb K}
} {}
messbare Funktionen sind. Es sei eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {G
} {}
gegeben mit den
\zusatzklammer {stetig differenzierbaren} {} {}
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
$\gamma_j$. Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird dann
nach Lemma 37.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
durch den Vektor
\mathl{\left( \gamma_1'(t) , \, \ldots , \, \gamma_n'(t) \right)}{} beschrieben. Die
\definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\gamma^* \omega}{} hat dann im Punkt $t$ in Richtung $1$ den Wert
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \omega(\gamma(t); \gamma'(t))
}
{ =} { { \left( f_1(\gamma(t))dx_1 + \cdots + f_n(\gamma(t))dx_n \right) } \begin{pmatrix} \gamma_1'(t) \\\vdots \\ \gamma_n'(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { f_1(\gamma(t)) \gamma_1'(t) + \cdots + f_n(\gamma(t)) \gamma_n'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Im mittleren Ausdruck wird eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
auf einen Vektor angewendet. In
\mathl{f_j(x_1 , \ldots , x_n)}{} wird also
\mathkor {} {x_i} {durch} {\gamma_i(t)} {}
und
\mathkor {} {dx_i} {durch} {\gamma_i'(t) dt} {}
ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare $1$-Form auf
\mathl{[a,b]}{} bzw. eine messbare Funktion von
\mathl{[a,b]}{} nach ${\mathbb K}$, die man integrieren kann.
}
\inputbemerkung
{}
{
In der Situation von
Bemerkung 12.3
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei eine komplexe Basis mit den zugehörigen komplexwertigen Koordinatenfunktionen
\mathl{z_1 , \ldots , z_n}{} und den zugehörigen reellwertigen Koordinatenfunktionen
\mathkor {} {x_1 , \ldots , x_n} {und} {y_1 , \ldots , y_n} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_j
}
{ = }{ x_j + y_j{ \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Differentialform kann man in der Form
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \omega
}
{ =} { f_1dz_1 + \cdots + f_ndz_n
}
{ =} { { \left( g_1+h_1 { \mathrm i} \right) } d { \left( x_1 + y_1 { \mathrm i} \right) } + \cdots + { \left( g_n+h_n { \mathrm i} \right) } d { \left( x_n + y_n { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \left( g_1 dx_1 -h_1 dy_1 + \cdots + g_n dx_n -h_n dy_n \right) } + { \mathrm i} { \left( g_1 dy_1 +h_1dx_1 + \cdots + g_n dy_n +h_ndx_n \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
schreiben. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma_j
}
{ =} { \alpha_j + { \mathrm i} \beta_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist für den Integranden
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \omega(\gamma(t); \gamma'(t))
}
{ =} { f_1(\gamma(t)) \gamma_1'(t) + \cdots + f_n(\gamma(t)) \gamma_n'(t)
}
{ =} { { \left( g_1(\gamma(t)) + h_1(\gamma(t)) { \mathrm i} \right) } { \left( \alpha_1'(t) + { \mathrm i} \beta_1'(t) \right) } + \cdots + { \left( g_n(\gamma(t)) + h_n(\gamma(t)) { \mathrm i} \right) } { \left( \alpha'_n(t) + { \mathrm i} \beta'_n(t) \right) }
}
{ =} { { \left( g_1(\gamma(t)) \alpha_1'(t) -h_1(\gamma(t)) \beta_1'(t) + \cdots + g_n(\gamma(t)) \alpha_n'(t) -h_n(\gamma(t)) \beta_n'(t) \right) } + { \mathrm i} { \left( g_1(\gamma(t)) \beta_1'(t) + h_1(\gamma(t)) \alpha_1'(t) + \cdots + g_n(\gamma(t)) \beta_n'(t) + h_n(\gamma(t)) \alpha_n'(t) \right) }
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Es macht also keinen Unterschied, ob man mit der komplexen Differentialform das Wegintegral im Sinne von
Bemerkung 12.3
oder mit der reell formulierten Differentialform berechnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
\mathl{z^2 dz}{} und den Weg
\maabbeledisp {\gamma} {[0,1]} { {\mathbb C}
} {t} { t^2-t { \mathrm i}
} {.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'(t)
}
{ = }{ 2t - { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_\gamma z^2 dz
}
{ =} { \int_0^1 (\gamma(t))^2 \cdot \gamma'(t) dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( t^2-t { \mathrm i} \right) }^2 { \left( 2t - { \mathrm i} \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( t^4-t^2 -2 { \mathrm i} t^3 \right) } { \left( 2t - { \mathrm i} \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( 2t^5-2t^3 -2t^3 + { \left( -t^4+t^2 -4 t^4 \right) } { \mathrm i} \right) } dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_0^1 { \left( 2t^5-4t^3 + { \left( -5t^4 +t^2 \right) } { \mathrm i} \right) } dt
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } t^6- t^4 \right) | _{ 0 } ^{ 1 } + { \mathrm i} \left( -t^5 + { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 \right) | _{ 0 } ^{ 1 }
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } { \mathrm i}
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Ein wichtiges Standardbeispiel ist die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z } }}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{ 0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung
\maabbeledisp {\gamma} {[0,2 \pi]} { {\mathbb C} \setminus \{ 0\}
} {t} { \cos t + { \mathrm i} \sin t
} {,}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} { \frac{ 1 }{ \cos t + { \mathrm i} \sin t } } { \left( - \sin t + { \mathrm i} \cos t \right) } dt
}
{ =} { { \mathrm i} \int_0^{2 \pi} { \left( \cos t - { \mathrm i} \sin t \right) } { \left( \cos t + { \mathrm i} \sin t \right) } dt
}
{ =} { { \mathrm i} \int_0^{2 \pi} \cos^{ 2 } t + \sin^{ 2 } t dt
}
{ =} { { \mathrm i} \int_0^{2 \pi} 1 dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \pi { \mathrm i}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
Den trigonometrisch parametrisierten
\zusatzklammer {einfachen} {} {}
Kreisweg
\zusatzklammer {egal, ob mit
\mathl{[0,1]}{} oder mit
\mathl{[0,2 \pi]}{} als Definitionsintervall} {} {}
nennen wir auch die \stichwort {Standardumrundung} {} um den Punkt $P$ mit Radius $r$.
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Basiseigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und seien $\omega , \tau$ stetige
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
eine
\zusatzklammer {stückweise} {} {}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma r\omega+s \tau
}
{ =} { r \int_\gamma \omega + s \int_\gamma \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{- \gamma} \omega
}
{ =} {- \int_\gamma \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $- \gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
}{Wenn
\maabbdisp {\delta} {[b,c]} {U
} {}
ein weiterer
\zusatzklammer {stückweise} {} {}
stetig differenzierbarer Weg mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta(b)
}
{ = }{ \gamma(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\gamma * \delta} \omega
}
{ =} { \int_\gamma \omega + \int_\delta \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\gamma * \delta}{} den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 12.7. }
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Wegintegral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ \subseteq }{ V'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-Vektorraum und
\maabbdisp {\varphi} {U'} {U
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U'
} {}
ein stückweise stetig differenzierbarer Weg.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \varphi^* \omega
}
{ =} { \int_{\varphi \circ \gamma} \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können davon ausgehen, dass $\gamma$ stetig differenzierbar ist. Dann ergibt sich die Aussage unter Verwendung von
Lemma 11.16
direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ \varphi \circ \gamma} \omega
}
{ =} { \int_a^b ( \varphi \circ \gamma)^* \omega
}
{ =} { \int_a^b \gamma^* { \left( \varphi^* \omega \right) }
}
{ =} { \int_\gamma \varphi^* \omega
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Umparametrisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
$W$-wertige
\definitionsverweis {Differentialform}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {G
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {g} {[c,d]} {[a,b]
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{,}
\definitionsverweis {monoton wachsende}{}{,}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}
}
{ = }{ \gamma \circ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \int_{\tilde{\gamma} } \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen
Lemma 11.16
können wir direkt davon ausgehen, dass $\omega$ eine Differentialform auf
\mathl{[a,b]}{} ist, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ g dt
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch betrachten der Komponentenfunktionen
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 12.8} {} {}
können wir weiter davon ausgehen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Aussage folgt somit aus
der Substitutionsregel.
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Längenabschätzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {normierte}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b] } { U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
und sei $B$ eine obere Schranke für
\mathl{\Vert {\omega (P)} \Vert_{\text{max} }}{} auf
\mathl{\gamma([a,b])}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \int_\gamma \omega} \Vert
}
{ \leq} { B \cdot L(\gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 12.11. }
\zwischenueberschrift{Wegintegrale und exakte Differentialformen}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Exakt/Berechnung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U'
} {}
ein stückweise stetig differenzierbarer Weg.}
\faktvoraussetzung {Es sei $\omega$
\definitionsverweis {exakt}{}{}
mit der Stammform $\varphi$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \varphi ( \gamma (b) ) - \varphi ( \gamma (a) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Unter Verwendung von
Aufgabe 11.23,
Lemma 11.3
und
Korollar 24.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma \omega
}
{ =} { \int_\gamma d \varphi
}
{ =} { \int_a^b \gamma^* ( d \varphi)
}
{ =} { \int_a^b d { \left( \gamma^* \varphi \right) }
}
{ =} { \int_a^b d { \left( \varphi \circ \gamma \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_a^b { \left( \varphi \circ \gamma \right) }' dt
}
{ =} { \varphi(\gamma(b))- \varphi (\gamma(a))
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Geschlossener Weg/Exakt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {exakte}{}{}
$W$-wertige stetige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U'
} {}
ein stückweise
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 12.11.
\inputbeispiel{}
{
Aus
Beispiel 12.6
und
Korollar 12.12
folgt, dass die holomorphe Differentialform
\mathl{{ \frac{ dz }{ z } }}{} nicht
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist, sie ist allerdings aufgrund von
Lemma 11.13
\definitionsverweis {geschlossen}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
\definitionsverweis {stetige}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Es ist $\omega$
\definitionsverweis {exakt}{}{.}
} {Für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
hängt das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma \omega}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Implikation
\mathl{(1) \Rightarrow (2)}{} folgt aus
Satz 12.11.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir können nach
Aufgabe 12.8
annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $\varphi$ an, die total differenzierbar ist und deren
\definitionsverweis {totales Differential}{}{}
gleich der vorgegebenen Form $\omega$ ist. Dazu sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=P} {und} {\gamma(b)=Q} {.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (Q)
}
{ \defeq} { \int_\gamma \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist
\mathl{\varphi (Q)}{} wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in jede Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und die Richtungsableitung mit
\mathl{\omega(Q,v)}{} übereinstimmt. Dazu betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (Q+tv) - \varphi (Q)
}
{ =} { \int_\delta \omega
}
{ =} { \int_0^t \omega(Q+sv ,v) ds
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach
\mathl{Q+tv}{} auf
\mathl{[0,t]}{} sei
\zusatzklammer {und $t$ hinreichend klein sei, so dass
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ Q+tv
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {.}
Für den
\definitionsverweis {Differentialquotienten}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ \varphi (Q+tv) - \varphi (Q) }{ t } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ t } } \int_0^t \omega( Q+sv,v ) ds
}
{ =} { \omega(Q, v)
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{}
nach
Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Somit existiert die Richtungsableitung von $\varphi$ in Richtung $v$ und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von $Q$ ab. Daher ist $\varphi$ stetig differenzierbar und somit nach
Satz 46.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{Q} { \left( v \right) }
}
{ =} { { \left( D_{v} \varphi \right) } { \left( Q \right) }
}
{ =} { \omega(Q, v)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass $\omega$ exakt mit der Stammform $\varphi$ ist.}
{}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Partieetoilee.PNG} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Partieetoilee.PNG } {} {} {fr Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ heißt
\definitionswort {sternförmig}{}
bezüglich eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Verbindungsstrecke
\mathbed {sQ+(1-s) P} {}
{s \in [0,1]} {}
{} {} {} {,}
ganz in $T$ liegt.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Sternförmig/Exakt und geschlossen/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist $\omega$
\definitionsverweis {exakt}{}{.}
}{Es ist $\omega$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{.}
}{Für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
hängt das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma \omega}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz
\mathl{(1) \Longleftrightarrow (3)}{} folgt aus
Satz 12.14
und die Implikation
\mathl{(1) \Longrightarrow (2)}{} aus
Lemma 11.12.
Es bleibt also
\mathl{(2) \Longrightarrow (1)}{} zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammform $\varphi$ zur Differentialform $\omega$ angeben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass $U$ bezüglich $P$
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist. Wir definieren
\mathl{\varphi(Q)}{} über das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zu $\omega$ zum linearen Verbindungsweg
\maabbeledisp {\gamma} {[0,1] } { U
} {t} { P+ t(Q-P)
} {,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (Q)
}
{ \defeq} { \int_\gamma \omega
}
{ =} { \int_0^1 \omega (\gamma(t), Q-P) dt
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ mit den Koordinaten
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} und ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n \psi_j dx_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit stetig differenzierbaren Funktionen
\maabb {\psi_j} {U} {\R
} {.}
Wir müssen zeigen, dass die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
zu $\varphi$ in $Q$ gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega(Q,v_i)
}
{ = }{ \psi_i(Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind. Dafür können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen und wir schreiben $z$ statt $Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } \varphi (z)
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \int_0^1 \omega ( tz ,z) dt \right) }
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } \omega ( tz ,z) \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \sum_{j=1}^n \psi_j(tz) \cdot z_j \right) } \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n z_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } \psi_j \right) } (tz) + \psi_i(tz) dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n z_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } \psi_i \right) } (tz) + \psi_i(tz) dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( t \mapsto t \cdot \psi_i(tz) \right) }^\prime dt
}
{ =} { { \left( t \cdot \psi_i(tz) \right) } {{|}}_0^1
}
{ =} { \psi_i (z)
}
}
{}{.}
Dabei beruht die zweite Gleichung auf
der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation
\zusatzklammer {angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion
\maabbele {} {[0,1] \times U} { \R
} {(t,z)} { \omega (tz,z)
} {}} {} {,}
die fünfte Gleichung auf der Geschlossenheit, die sechste Gleichung auf der
Kettenregel
und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der
Newton-Leibniz-Formel.
Die folgende Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung von Korollar 11.9, weitere Verallgemeinerungen werden folgen, siehe Korollar 22.6.
\inputfaktbeweis
{C/Sternförmige Menge/Stetig komplex-differenzierbar/Stammform/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine stetig
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion, und die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
$fdz$ ist
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung ist
\mathl{fdz}{} stetig komplex differenzierbar, nach
Lemma 11.13
ist $fdz$ also
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
und nach wie vor stetig differenzierbar. Nach
Satz 12.16
ist sie daher
\definitionsverweis {exakt}{}{.}
\inputfaktbeweis
{C/Sternförmige Menge/Stetig komplex-differenzierbar/Wegintegral/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine stetig
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion.}
\faktfolgerung {Dann hängt für jeden stetig differenzierbaren Weg
\maabb {\gamma} {[a,b]} { U
} {}
das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
nur von
\mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {}
ab.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 12.17 und aus Satz 12.11.
In
Satz 14.4
werden wir sehen, dass diese beiden Aussagen allein unter der Voraussetzung komplex differenzierbar gelten.