Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Einige algebraische Grundbegriffe}
Wir erwähnen einige algebraische Grundbegriffe, die für das Verständnis der Eigenschaften der Ringe der formalen Potenzreihen bzw. der konvergenten Potenzreihen relevant sind.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{,} \definitionsverweis {nullteilerfreier}{}{,} von $0$ verschiedener \definitionsverweis {Ring}{}{} heißt \definitionswort {Integritätsbereich}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein Element $u$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Einheit}{,} wenn es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{uv
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {prim}{}
\zusatzklammer {oder ein \definitionswort {Primelement}{}} {} {,}
wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt
\mathbed {ab} {mit}
{a,b \in R} {}
{} {} {} {,}
so teilt $p$ einen der Faktoren.
}
\inputdefinition
{}
{
Zwei Elemente $a$ und $b$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißen \definitionswort {assoziiert}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ub
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge ${\mathfrak a}$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Ideal}{,} wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ =} {(a)
}
{ =} {Ra
}
{ =} {\{ra:\, r \in R\}
}
{ } {}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Hauptideal}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} in dem jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist, heißt \definitionswort {Hauptidealbereich}{.}
}
Sowohl die ganzen Zahlen $\Z$ als auch der Polynomring $K[X]$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ bilden einen Hauptidealbereich, was in beiden Fällen auf der Division mit Rest beruht, siehe Satz 20.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {maximales Ideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {lokal}{}, wenn $R$ genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} besitzt.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionswort {diskreter Bewertungsring}{} $R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit der Eigenschaft, dass es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} genau ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} in $R$ gibt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z_{ (p )}
}
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid \text{ in der gekürzten Darstellung von } q \text{ ist der Nenner kein Vielfaches von } p \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die sogenannte
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
$R$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,}
da ja
\mathl{\Z}{} ein Hauptidealbereich ist. Die Ideale von $R$ sind das Nullideal und die Ideale
\mathl{{ \left( p^n \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die beiden einzigen
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
von $R$ sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0)
}
{ \subset }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.
}
\zwischenueberschrift{Formale Potenzreihen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $T$ eine Variable. Eine \definitionswort {formale Potenzreihe}{} in $T$ über $K$ ist ein Ausdruck der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_{n \in \N} a_n T^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. D.h. man setzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F \cdot G
}
{ =} { { \left( {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i } \right) } { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) }
}
{ =} { {\sum }_{ k=0 }^{ \infty } c_{ k } T ^{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ = }{\sum_{i = 0}^k a_i b_{k-i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Multiplikation ist also durch das Cauchy-Produkt gegeben.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Dann bezeichnet man mit
\mathdisp {K[ \![T]\! ]} { }
den \definitionswort {Potenzreihenring in einer Variablen}{}
\zusatzklammer {oder den \definitionswort {Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen}{}} {} {}
über $K$.
}
{Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Der
\definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 9.12. }
\inputfaktbeweis
{Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{}
in einer Variablen.}
\faktfolgerung {Dann ist eine formale Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } a_{ n } T ^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{,}
wenn der konstante Term
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung
\maabbeledisp {} {K[ \![T]\! ] } { K
} {F} {a_0
} {,}
die eine Potenzreihe $F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, siehe
Aufgabe 9.13.
Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ FG
}
{ =} { { \left( {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i } \right) } { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angeben. Für $b_0$ ergibt sich daraus die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0b_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ a_0^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten $b_j$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten
\mathbed {c_k} {}
{1 \leq k<n} {}
{} {} {} {,} der Produktreihe $FG$ gleich $0$ sind. Für den $n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { c_n
}
{ =} { a_0b_n+ a_1b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_1 + a_nb_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind bis auf $b_n$ alle Werte schon festgelegt, und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich eine eindeutige Lösung für $b_n$.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten $1-T$ im Potenzreihenring
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} über einem beliebigen Körper $K$. Nach
Satz 9.15
besitzt $1-T$ ein inverses Element, das man über den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1
}
{ =} { { \left( 1-T \right) } { \left( b_0+b_1T+b_2T^2+b_3T^3 + \ldots \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestimmen kann. Induktiv ergibt sich, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, das Inverse ist also die
\zusatzklammer {formale} {} {}
geometrische Reihe.
}
\inputfaktbeweis
{Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
in einer Variablen.}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn nämlich eine Potenzreihe $F$ keine Einheit ist, so muss nach
Satz 9.15
der konstante Term von $F$ gleich $0$ sein. Dann kann man aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ T \tilde{F}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der umindizierten Potenzreihe $\tilde{F}$ schreiben. Die
\definitionsverweis {Nullteilerfreiheit}{}{}
folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind
\mathkor {} {F} {und} {G} {}
von $0$ verschiedene Potenzreihen, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} {a_kT^k+a_{k+1}T^{k+1} + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {b_\ell T^\ell+a_{\ell+1}T^{\ell+1} + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_k , b_\ell
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{k + \ell}
}
{ =} { a_k b_\ell
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da die kleineren Koeffizienten alle $0$ sind. Es bleibt also noch
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
vorliegt, und zwar wird jedes Ideal $\neq 0$ von $T^{j}$ erzeugt, wobei $j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten $\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.
\zwischenueberschrift{Einsetzen von formalen Potenzreihen}
Man kann Potenzreihen nicht nur addieren und multiplizieren, sondern auch, unter gewissen Zusatzbedingungen, Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen. Diese Operation entspricht der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i }
}
{ \in }{ K[ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ F(G)
}
{ =} { a_0 + a_1 { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) } +a_2 { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) }^2 +a_3 { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) }^3 + \ldots
}
{ =} { {\sum }_{ k=0 }^{ \infty } c_{ k } T ^{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
die \definitionswort {eingesetzte Potenzreihe}{.} Ihre Koeffizienten sind durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_k
}
{ =} { \sum_{s = 0}^k a_s { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_s = k } b_{j_1} \cdots b_{j_s} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten $s$-Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (j_1 , \ldots , j_s)
}
{ \in }{ \N_+^s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
summiert.
}
Man beachte in der vorstehenden Definition, dass wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
summiert wird, so dass alle beteiligten Summen endlich sind. Die Formeln für das Einsetzen sind derart, dass sie bei Polynomen das übliche Einsetzen von Polynomen in Polynome ergeben. Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen liefert wieder einen Einsetzungshomomorphismus der Potenzreihenringe.
\inputfaktbeweis
{Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ K[ \![S]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Potenzreihe mit konstantem Term $0$.}
\faktfolgerung {Dann definiert $G$ durch Einsetzen einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { K[ \![T]\! ]} { K[ \![S]\! ]
} {F} {F(G) } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist wohldefiniert. Um zu zeigen, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, muss man lediglich gewisse Koeffizienten vergleichen. Diese hängen immer nur von endlich vielen Koeffizienten der beteiligten Potenzreihen an, so dass sich diese Aussage aus dem polynomialen Fall ergibt.
Die folgende Aussage ist der Umkehrsatz in einer Variablen für formale Potenzreihe und ist analog zu
Korollar 5.3.
\inputfaktbeweis
{Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Umkehrsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } S ^{ j }
}
{ \in }{ K[ \![S]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Potenzreihe mit
\mathkon { b_0 =0 } { und } { b_1 \neq 0 }{ .}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ =} { S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir machen den Ansatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Potenzreihe $F$ und betrachten die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ = }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1
}
{ = }{b_1^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Es sei nun die Potenreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum
\mathl{(k-1)}{-}Koeffizienten bereits konstruiert und ihre Eindeutigkeit nachgewiesen. Für den Koeffizienten $c_k$ hat man nach der
Definition 9.18
die Bedingung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { c_k
}
{ =} { \sum_{s = 0}^k a_s { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_s = k } b_{j_1} \cdots b_{j_s} \right) }
}
{ =} { \sum_{s = 0}^{k-1} a_s { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_s = k } b_{j_1} \cdots b_{j_s} \right) } + a_k b_1^k
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_k$.
\inputfaktbeweis
{Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
über $K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit \mathkon { b_0 =0 } { und } { b_1 \neq 0 }{ .}}
\faktfolgerung {Dann definiert der durch
\mathl{T \mapsto G}{} definierte Einsetzungshomomorpismus einen
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
auf
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 9.20
gibt es eine Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {K[ \![T]\! ] \stackrel{T \mapsto F}{\longrightarrow} K[ \![T]\! ] \stackrel{T \mapsto G}{\longrightarrow }K[ \![T]\! ]} { . }
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus
\mathl{T \mapsto T}{,} und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K[ \![T]\! ]$ nach
Korollar 9.17
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.
Aus dem vorstehenden Beweis ergibt sich, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(F)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. In der Hintereinanderschaltung
\mathdisp {K[ \![T]\! ] \stackrel{T \mapsto F}{\longrightarrow} K[ \![T]\! ] \stackrel{T \mapsto G}{\longrightarrow }K[ \![T]\! ]} { }
wird $G$ links auf $G(F)$ und dieses wiederum auf $G$ abgebildet, da die Gesamtabbildung die Identität ist. Doch die hintere Abbildung bildet $T$ auf $G$ ab, also muss wegen der Injektivität
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(F)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten.