Abhängigkeit der Lösung von Anfangswerten[Bearbeiten]

Wir betrachten nun zwei Anfangswertaufgaben, die sich nur in den Anfangswerten unterscheiden,

{\begin{aligned}y'=f(t,y),&\quad &y'=f(t,y),\\y(t_{0})=y_{0},&\quad &y(t_{0})=z_{0}.\end{aligned}}

Sei die Funktion ${\textstyle f}$ auf der rechten Seite Lipschitz stetig. Wir bezeichnen die entsprechende Lösungen dieser zwei Aufgaben in Abhängigkeit von den Anfangswerten als ${\textstyle y(t;y_{0}),\ z(t;z_{0})}$ . Nun schätzen wir die ${\textstyle \mathbb {R} ^{m}}$ -Norm , ${\textstyle m\geq 1}$ , des Unterschiedes dieser zwei Lösungen mithilfe der Gleichung (2.1), der Dreiecksungleichung der Norm, der Lipschitz-Stetigkeit von ${\textstyle f}$ und des Lemmas 2.1 ab,

{\begin{aligned}\|y(t;y_{0})-z(t;z_{0})\|_{\mathbb {R} ^{m}}&=&\left\|y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds-z_{0}-\int _{t_{0}}^{t}f(s,z(s))ds\right\|_{\mathbb {R} ^{m}}\qquad \\&\leq &\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}+\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds-\int _{t_{0}}^{t}f(s,z(s))ds\right\|_{\mathbb {R} ^{m}}\\&\leq &\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}+L\int _{t_{0}}^{t}\|y(s)-z(s)\|_{\mathbb {R} ^{m}}ds.\qquad \qquad \qquad \end{aligned}}

Nun benutzen wir das folgende bekannte Lemma

Lemma 2.2 (Gronwall)

Sei ${\textstyle \phi :I\to \mathbb {R} }$ stetig und es gelte für jedes ${\textstyle \alpha ,\beta \geq 0}$ , dass

0\leq \phi (t)\leq \alpha +\beta \int _{t_{0}}^{t}\phi (s)ds\quad \forall t\geq 0.