Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/2.3.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

2.3.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

Sei nun die Matrix ${\textstyle A(t)}$ in (2.11) konstant, ${\textstyle A(t)\equiv A\in \mathbb {R} ^{m\times m}.}$ Das Prinzip der Superposition und die daraus folgende Formel (2.17) ist in diesem Spezialfall gültig und liefert die Lösung des inhomogenes Problems (2.11). Die der homogenen Gleichung ${\textstyle {\vec {y}}'(t)=A{\vec {y}}(t)}$ zugehörige Fundamentalmatrix besteht aus ${\textstyle m}$ unabhängigen vektorwertigen Funktionen ${\textstyle {\vec {y}}^{i},\,i=1,\ldots m,}$ die den Lösungen von

$$({\vec {y}}^{i}(t))'=A{\vec {y}}^{i}(t)\qquad (2.18)$$

entsprechen. Jede andere Lösung dieser homogenen Differentiagleichung lässt sich als Kombination ${\textstyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t),\,c_{i}\in \mathbb {R} }$ dieser Lösungen darstellen. Die Konstanten ${\textstyle c_{i}}$ werden später durch die Anfangsbedingung bestimmt, denn es muss gelten ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0}){\stackrel {}{=}}\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t_{0}).}$

Die Lösung von (2.18) bestimmen wir mithilfe von Eigewerten (EW) und Eigenvektoren (EV) der Matrix ${\textstyle A}$. Für die Eigenwerte und Eigenvektoren von ${\textstyle A}$ gilt:

$$A{\vec {v}}_{i}=\lambda _{i}{\vec {v}}_{i},\ i=1,\ldots m,$$

wobei ${\textstyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$ oder ${\textstyle \mathbb {C} }$ der ${\textstyle i}$-te Eigenwert und ${\textstyle {\vec {v}}_{i}\in \mathbb {R} ^{m}}$ oder ${\textstyle \ C^{m}}$ der zugehörige Eigenvektor ist, ${\textstyle {\vec {v}}_{i}\neq {\bf {0}}}$. Nach dem Umformulieren der obigen Gleichung erhalten wir ${\textstyle (A-\lambda _{i}I){\vec {v}}_{i}=0,i=1,\ldots m,}$ woraus folgt, dass die Matrix ${\textstyle (A-\lambda _{i}I)}$ singulär ist. Das ist äquivalent zu ${\textstyle det(A-\lambda _{i}I)=0}$. Die Determinante ${\textstyle det(A-\lambda I)}$ ist ein Polynom ${\textstyle m}$-ten Grades in ${\textstyle \lambda }$, das sogenannte charakteristischen Polynom ${\textstyle \rho (\lambda )}$. Also sind die Eigenwerte ${\textstyle \lambda _{i}}$ Nullstellen von ${\textstyle \rho (\lambda )=det(A-\lambda I)}$. Im Folgenden betrachten wir zunächst den Fall der einfachen Nullstellen von ${\textstyle \rho (\lambda )}$, ${\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\neq \ldots \neq \lambda _{m}.}$

Wir suchen nun nach der Lösung von (2.18). Besteht der Lösungsvektor ${\textstyle {\vec {y}}\,^{i}(t)=f(t){\vec {v}}_{i}}$ aus dem (konstanten) Eigenvektor Anteil ${\textstyle {\vec {v}}_{i}}$ und dem skalaren Anteil ${\textstyle f(t)}$, dann entsteht auf der rechten Seite von (2.18) ${\textstyle f(t)\lambda _{i}{\vec {v}}_{i}}$, und der nicht-konstante, ${\textstyle t-}$ abhängige, skalare Anteil ${\textstyle f(t)}$ von ${\textstyle {\vec {y}}\,^{i}}$ muss den Ausdruck ${\textstyle e^{\lambda _{i}t}}$ enthalten. So kommen wir zu einer Lösung

$${\vec {y}}\,^{i}(t)=e^{\lambda _{i}t}{\vec {v}}_{i}.$$

(überzeugen Sie sich davon dass ${\textstyle ({\vec {y}}\,^{i}(t))'=A{\vec {y}}\,^{i}(t)}$.)

Schließlich definieren wir die Fundamentalmatrix für die homogene Dgl (2.18) im Fall einfacher Eigenwerte.

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Defintion 2.4 (Fundamentalmatrix für die homogene Dgl (2.18) im Fall einfacher Eigenwerte

Seien die Eigenwerte der Matrix ${\textstyle A}$ einfach, ${\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\neq \ldots \neq \lambda _{m}.}$ Die Fundamentalmatrix der homogenen Differentialgleichung (2.18) hat dann folgende Form

$$Y(t)=(({\vec {y}}\,^{1}(t),\ldots ,{\vec {y}}\,^{m}(t){\Big )}={\begin{pmatrix}e^{\lambda _{1}t}{\vec {v}}_{1},&e^{\lambda _{2}t}{\vec {v}}_{2},&\ldots &,e^{\lambda _{m}t}{\vec {v}}_{m}\\\ \ \vdots \ &\ \ \vdots \ &&\ \ \vdots \end{pmatrix}},\qquad (2.19)$$

wobei die ${\textstyle \lambda _{i},\,{\vec {v}}_{i},i=1,\ldots ,m}$ die (einfachen) Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von ${\textstyle A}$ sind.

Nun können wir die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems bestimmen. Sei ${\textstyle {\vec {y}}(t)}$ die Lösung von (2.18) mit ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0})={\vec {y}}_{0}}$. Dann ist ${\textstyle {\vec {y}}(t){\stackrel {}{=}}\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t)}$, wobei ${\textstyle {\vec {y}}^{i}(t)}$ die Spalten der Fundamentalmatrix (2.19) sind und die Konstanten ${\textstyle c_{1},\ldots c_{m}}$ als Lösung des folgenden linearen Systems bestimmt werden,

$$Y(t_{0}){\vec {c}}={\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1},&{\vec {v}}_{2},&\ldots &,{\vec {v}}_{m}\\\vdots \ &\vdots \ &&\vdots \\&&&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}={\vec {y}}_{0}.$$

Dieses lineare System entspricht genau der Bedingung ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0}){\stackrel {}{=}}\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t_{0})={\vec {y}}_{0},}$ da ${\textstyle {\vec {y}}^{i}(t_{0})={\vec {v}}_{i}}$.

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Beispiel 2.3. Finde die Lösung der Anfangswertaufgabe dritter Ordnung

$$y'''+6y''+11y'+6y=0,\ \quad y(0)=1,\ y''(0)=y'(0)=0.$$

Nach dem Umformulieren dieser Gleichung in ein ${\textstyle 3\times 3}$ System von Dgl für ${\textstyle {\vec {y}}(t)=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}=(y,y',y'')^{T}}$ erhalten wir

$$({\vec {y}}(t))'={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{pmatrix}}{\vec {y}}(t),\qquad {\vec {y}}(0)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}.$$

Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix. Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist

$$\rho (\lambda )=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\-6&-11&-6-\lambda \end{pmatrix}}=-(6+\lambda )\lambda ^{2}-11\lambda -6.$$

Die Nullstellen von ${\textstyle \rho (\lambda )}$ sind ${\textstyle \lambda _{1}=-1,\ \lambda _{2}=-2,\ \lambda _{3}=-3.}$ Die entsprechende Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten sind (nachrechnen!)

$${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}},{\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}},{\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}1\\-3\\9\end{pmatrix}}$$

(oder nicht-verschwindende vielfache ${\textstyle {\vec {v}}_{i}\neq {\bf {0}}}$ davon). Nun können wir die allgemeine Lösung unseres Systems mithilfe von (2.19) als eine beliebige Kombination der Spalten der Fundamentalmatrix ${\textstyle Y(t)}$ bestimmen,

$${\vec {y}}(t)=Y(t){\vec {c}}=c_{1}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}e^{-2t}{\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}+c_{3}e^{-3t}{\begin{pmatrix}1\\-3\\9\end{pmatrix}}.$$

Die Lösung unserer ursprünglichen Differentialgleichung dritter Ordnung entspricht der ersten Komponente von ${\textstyle {\vec {y}}(t),}$ also ${\textstyle y(t)=c_{1}e^{-t}+c_{2}^{-2t}+c_{3}e^{-3t}}$. Aus den Anfangsbedingungen ${\textstyle y(0)=1,\ y''(0)=y'(0)=0}$ ergibt sich schließlich ${\textstyle c_{1}=3,\ c_{2}=-3,\,c_{3}=1}$.
Die gesuchte Lösung ist ${\textstyle y(t)=3e^{-t}-3^{-2t}+e^{-3t}}$.

Wir betrachten nun den Fall, wenn die Matrix ${\textstyle A}$ in (2.18) mehrfache Eigenwerte besitzt. Sei ${\textstyle \lambda _{i}}$ ein ${\textstyle k}$-facher Eigenwert von ${\textstyle A}$, ${\textstyle k>1}$. Also hat das charakteristische Polynom ${\textstyle \rho (\lambda )}$ (von Grad ${\textstyle m}$) höchstens ${\textstyle m-k+1}$ verschiedene Nullstellen ${\textstyle \lambda _{1}\neq \ldots \neq \lambda _{m-k+1}}$. Angenommen es gibt keine weiteren mehrfachen Nullstellen von ${\textstyle \rho (\lambda )}$. Dann erhalten wir für ${\textstyle j=1,\ldots m-k+1}$ durch Auflösen von ${\textstyle (A-\lambda _{j}){\vec {v}}=0}$ nach ${\textstyle {\vec {v}}}$ insgesamt ${\textstyle m-k+1}$ unabhängige Eigenvektoren. . Die Fundamentalmatrix (2.19) kann nicht vollständig konstruiert werden.
Wie erzeugt man die restlichen ${\textstyle k-1}$ unabhängigen Spalten von ${\textstyle Y(t)}$?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns die Vielfachheit eines Eigenwertes genauer anschauen. Man unterscheidet zwischen

• algebraischer Vielfachheit (AVf) von ${\textstyle \lambda _{i}}$: das ist die Vielfachheit der Nullstelle von ${\textstyle \rho (\lambda )}$, in unserem Fall ist es ${\textstyle k}$.
• geometrischer Vielfachheit (GVf) von ${\textstyle \lambda _{i}}$: das ist die Dimension des Lösungsraumes von ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}=0}$, (die Dimension von Kern(${\textstyle A-\lambda _{i}}$)).

Fall 1: (GVf=AVf)
Die Situation ist einfach, wenn die geometrische Vielfachheit von ${\textstyle \lambda _{i}}$ der algebraischen Vielfachheit (${\textstyle k}$) entspricht. Dann erhalten wir alle notwendigen Eigenvektoren zu ${\textstyle \lambda _{i}}$ durch Lösen von ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}=0}$ nach ${\textstyle {\vec {v}}}$, denn die Lösungen ${\textstyle {\vec {v}}}$ spannen einen ${\textstyle k}$- dimensionalen Eigenraum zu ${\textstyle \lambda _{i}}$ auf.
Fall 2: (GVf<AVf)
Falls die geometrische Vielfachheit von ${\textstyle \lambda _{i}}$ kleiner als ${\textstyle k}$ ist, müssen wir mit weiteren Vektoren, so genannte verallgemeinerte Eigenvektoren, auffüllen. Sei (GVf)${\textstyle =\ell <k}$. Dann erhalten wir zu ${\textstyle \lambda _{i}}$ erstmal wie im Fall 1 ${\textstyle \ell }$ Eigenvektoren ${\textstyle {\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{i+1},\ldots ,{\vec {v}}_{i+\ell -1}}$ durch Lösen von ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}=0}$. Weitere verallgemeinerte Eigenvektoren (auch genannt Hauptvektoren der Stufe 2, 3 u.s.w.) erhält man durch Einsetzen der bereits bekannten Eigenvektoren (oder Hauptvektoren) in die rechte Seite und Auflösen nach ${\textstyle {\vec {v}}}$:

$${\begin{aligned}(A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+\ell }&=&{\vec {v}}_{i+\ell -1}\\(A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+\ell +1}&=&{\vec {v}}_{i+\ell }\\\ldots &&\\(A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+k-1}&=&{\vec {v}}_{i+k-2}.\end{aligned}}$$

Durch das Einsetzen der ersten Gleichung von oben in die Gleichung für den zuletzt erzeugten Eigenvektor ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+\ell -1}=0}$ erhält man für den ersten Hauptvektor ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell }}$, dass ${\textstyle (A-\lambda _{i})^{2}{\vec {v}}_{i+\ell }=0.}$ Man nennt deswegen ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell }}$ auch Hauptvektor der Stufe 2. (Die Eigenvektoren ${\textstyle {\vec {v}}_{i},\ldots ,{\vec {v}}_{i+\ell -1}}$ werden auch Hauptvektoren der Stufe 1 genannt.) Durch sukzessives Einsetzen erhält man für den Hauptvektor ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell +1}}$ die Stufe 3, schließlich für den Hauptvektor ${\textstyle {\vec {v}}_{i+k-1}}$ die Stufe ${\textstyle k-\ell +1}$.

Die Eigenvektoren ${\textstyle {\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{i+1},\ldots ,{\vec {v}}_{i+\ell -1}}$ zusammen mit den Hauptvektoren ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell },\ldots ,{\vec {v}}_{i+k-1}}$ spannen einen ${\textstyle k}$- dimensionalen Eigenraum zu ${\textstyle \lambda _{i}}$ auf und werden benutzt, um die fehlenden ${\textstyle k}$ Spalten der Fundamentalmatrix, die zu dem ${\textstyle k}$-fachen Eigenwert ${\textstyle \lambda _{i}}$ gehören, zu erzeugen.

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Defintion 2.5 (Fundamentalmatrix für mehrfach Eigenwerte)

Sei ${\textstyle \lambda _{i}}$ ein ${\textstyle k}$- facher Eigenwert der Matrix ${\textstyle A}$. Der zu dem Eigenwert ${\textstyle \lambda _{i}}$ zugehörige Teil der Fundamentalmatrix (2.18) hat folgende Form ${\begin{pmatrix}\ldots {\Big |}e^{\lambda _{i}t}{\vec {v}}_{i}{\Big |}e^{\lambda _{i}t}({\vec {v}}_{i}t+{\vec {v}}_{i+1}){\Big |}\ldots {\Big |}e^{\lambda _{i}t}\left({\vec {v}}_{i}{\frac {t^{k-1}}{(k-1)!}}+{\vec {v}}_{i+1}{\frac {t^{k-2}}{(k-2)!}}+\ldots +{\vec {v}}_{i+k-2}t+{\vec {v}}_{i+k-1}\right){\Big |}\ldots \\\end{pmatrix}}$ (2.20)

wobei die ${\textstyle \lambda _{i},\,{\vec {v}}_{i},\ldots {\vec {v}}_{i+k-1}}$ sind die Eigenvektoren und Hauptvektoren zu ${\textstyle \lambda _{i}}$, deren Konstruktion oben im Fall 1 und 2 beschrieben ist.

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Beispiel 2.4. Gegeben sei eine Matrix ${\textstyle A\in \mathbb {R} ^{6\times 6}}$ mit dem charakteristischen Polynom ${\textstyle \rho (\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -2)^{3}(\lambda -3)^{3}}$. Die Nullstellen sind ${\textstyle \lambda _{1}=2}$ (dreifach), ${\textstyle \lambda _{2}=3}$ (dreifach). Sei die geometrische Vielfachheit von ${\textstyle \lambda _{2}}$ ${\textstyle dimKern(A-2I)=2<3}$, und die von ${\textstyle \lambda _{3}}$ ${\textstyle dimKern(A-3I)=1<3}$. Bestimme die Fundamentalmatrix vom System ${\textstyle ({\vec {y}}(t))'=A{\vec {y}}(t)}$.
Eigenraum zu ${\textstyle \lambda _{2}=2}$:
Durch Lösen von ${\textstyle (A-2I){\vec {v}}=0}$ erhält man die Eigenvektoren ${\textstyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}}$. Den dritten verallgemeinerten Eigenvektor (Hauptvektor der Stufe 2) erhält man durch Lösen von

$$(A-2I){\vec {v}}_{3}={\vec {v}}_{2}\quad \Leftrightarrow \quad (A-2I)^{2}{\vec {v}}_{3}=0.$$

Eigenraum zu ${\textstyle \lambda _{3}=3}$:
Durch Lösen von ${\textstyle (A-3I){\vec {v}}=0}$ erhält man den Eigenvektor ${\textstyle {\vec {v}}_{4}}$. Die fehlenden verallgemeinerten Eigenvektoren ${\textstyle {\vec {v}}_{5},{\vec {v}}_{6}}$ (Hauptvektoren von Stufe 2 und 3) erhält man durch Lösen von

$${\begin{aligned}(A-3I){\vec {v}}_{5}={\vec {v}}_{4}\quad \Leftrightarrow \quad (A-3I)^{2}{\vec {v}}_{5}=0,\\(A-3I){\vec {v}}_{6}={\vec {v}}_{5}\quad \Leftrightarrow \quad (A-3I)^{3}{\vec {v}}_{6}=0.\end{aligned}}$$

Die Fundamentalmatrix ist nun gegeben durch ${\begin{pmatrix}e^{2t}{\vec {v}}_{1}&{\Big |}e^{2t}({\vec {v}}_{1}t+{\vec {v}}_{2})&{\Big |}e^{2t}({\vec {v}}_{1}{\frac {t^{2}}{2}}+{\vec {v}}_{2}t+{\vec {v}}_{3})&{\Big |}e^{3t}{\vec {v}}_{4}&{\Big |}e^{3t}({\vec {v}}_{5}t+{\vec {v}}_{6})&{\Big |}e^{3t}({\vec {v}}_{4}{\frac {t^{2}}{2}}+{\vec {v}}_{5}t+{\vec {v}}_{6})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{pmatrix}}.$

Bemerkung 2.1 (Fall: komplexe Eigenwerte) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat das Charakteristische Polynom für ${\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ mit Vielfachheit gezählt ${\textstyle n}$ Nullstellen, d.h. ${\textstyle A}$ hat ${\textstyle n}$ Eigenwerte.

Neben den oben behandelten reellen Nullstellen bzw. Eigenwerten kann es vorkommen, dass ${\textstyle A}$ komplexe Eigenwerte und komplexe Eigenvektoren hat. Also ist ${\textstyle \lambda =\sigma +i\tau }$ und ${\textstyle {\vec {v}}={\vec {a}}+i{\vec {b}}}$ aufgeteilt in Realteil und Imaginärteil. Auch in dem Fall ist ${\textstyle e^{\lambda t}{\vec {v}}}$ eine Lösung des Systems, die aber komplexwertig ist. Wie kommt man nun zu reellen Lösungen?

Komplexe Nullstellen reeller Polynome kommen immer paarweise komplex-konjugiert vor, daher ist mit ${\textstyle \lambda =\sigma +i\tau }$ auch ${\textstyle {\overline {\lambda }}=\sigma -i\tau }$ eine Nullstelle und damit ein Eigenwert. Zugehörige Eigenvektoren sind dann auch komplex-konjugiert zueinander ${\textstyle {\overline {\vec {v}}}={\vec {a}}-i{\vec {b}}}$. Entsprechend ist dann auch ${\textstyle e^{{\overline {\lambda }}t}{\overline {\vec {v}}}}$ eine Lösung.

Beachtet man nun die Euler-Identität ${\textstyle e^{(\sigma +i\tau )t}=e^{\sigma t}[\cos(\tau t)+i\sin(\tau t)],}$ so lassen sich aus den zwei Lösungen mithilfe von Summe und Differenz die neuen, reellwertigen Lösungen

$$e^{\sigma t}{\big (}\cos(\tau t){\vec {a}}-\sin(\tau t){\vec {b}}{\big )}\quad {\text{ und }}\quad e^{\sigma t}{\big (}\sin(\tau t){\vec {a}}+\cos(\tau t){\vec {b}}{\big )}$$

für die Differentialgleichung finden. Haben die komplexen Nullstellen selbst eine höhere Vielfachheit, so geht man dann analog zum reellen Fall vor und muss entsprechend mit ${\textstyle t,\,{\frac {t^{2}}{2}},\ldots }$ multiplizieren. Hier gehen wir auf diesen Fall nicht weiter ein.