Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 23
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Löse in die Gleichung
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Artikuliere die beiden folgenden Brüche mit „tel“
- ,
- .
Aufgabe
Sind die beiden rationalen Zahlen
gleich oder verschieden?
Aufgabe
Finde die gekürzte Darstellung für den Bruch
Aufgabe
Finde die gekürzte Darstellung (ausgerechnet) für den Bruch
Aufgabe
Bestimme die Darstellung der Zahlen
mit dem kleinstmöglichen Hauptnenner.
Aufgabe *
Im Bruch
sind Zähler und Nenner im Strichsystem angegeben. Man gebe die entsprechende gekürzte Darstellung an.
Aufgabe
Rechne den im Fünfersystem gegebenen Bruch
in das Zehnersystem um.
Aufgabe
Rechne den Bruch
in das Dreiersystem um.
Aufgabe *
Berechne im Vierersystem
(das Ergebnis muss nicht gekürzt sein).
Aufgabe
Aufgabe
Addiere die ersten fünf Stammbrüche.
Aufgabe
Zeige, dass die Multiplikation von rationalen Zahlen wohldefiniert ist.
Aufgabe
Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?
Aufgabe
Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?
Aufgabe
Berechne
Aufgabe
Berechne
Aufgabe
Beweise durch Induktion die folgende Formel.
Aufgabe
Löse in die Gleichung
Aufgabe
Löse in die Gleichung
Aufgabe *
Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?
Aufgabe
Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?
Aufgabe *
Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?
Aufgabe *
Zwei Schwimmer, und , schwimmen auf einer -Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt .
- Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen und Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
- Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer ) nach Sekunden?
- Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
- Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
- Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer ?
Aufgabe
Eine Gitarrensaite schwingt beim Ton c ca. mal pro Sekunde hin und her (also Hertz). Wie oft schwingt die Große Septime dazu pro Sekunde? Wie oft schwingt die Quarte zu c pro Minute?
Aufgabe
Der Preis für eine Maß Bier auf der Münchner Wiesn steht zum Vorjahrespreis im Verhältnis . In welchem Verhältnis steht der heutige Preis zum Preis von vor zehn Jahren?
Aufgabe
Zeige, dass es ganze Zahlen derart gibt, dass
gilt. Finde solche Zahlen.
Aufgabe
Finde ganze Zahlen derart, dass
gilt.
Aufgabe *
Es seien positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann
- Zeige, dass bei teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
- Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.
Aufgabe *
Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .
Aufgabe
Zeige direkt, dass für rationale Zahlen und das Produkt nur dann sein kann, wenn eine der Zahlen ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
Aufgabe *
Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten . Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von gleich ist, verwenden.
Aufgabe *
Zeige, dass jede rationale Zahl eine eindeutige Darstellung der Form
besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Finde die gekürzte Darstellung von
Aufgabe (2 Punkte)
Eine lineare Funktion
hat an der Stelle den Wert . Welchen Wert hat sie an der Stelle ?
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, so dass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die „Rechenregel“
bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
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