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Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 13/latex

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\setcounter{section}{13}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{,} deren \definitionsverweis {Grad}{}{} eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mathl{K \subset L}{} eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} aber keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {separables Polynom}{}{.} Zeige, dass ein Teiler
\mathl{F \in K[X]}{} von $P$ ebenfalls separabel ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Ist ein konstantes Polynom
\mathl{P\in K[X]}{} \definitionsverweis {separabel}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, das auch
\mathl{M \subseteq L}{} eine separable Körpererweiterung ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{,} dessen Grad kein Vielfaches von $p$ sei. Zeige, dass $F$ \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ und sei
\mathbed {X^p -a} {}
{a \in K} {}
{} {} {} {,} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq} {K[x] }
{ =} {K[X]/(X^p-a) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ und sei
\mathbed {X^p -X-a} {}
{a \in K} {}
{} {} {} {,} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq} {K[x] }
{ =} {K[X]/(X^p-X-a) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} dessen \definitionsverweis {Grad}{}{} kein Vielfaches von $p$ sei. Zeige, dass diese Körpererweiterung \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass diese Erweiterung genau dann \definitionsverweis {separabel}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $D$ kein Vielfaches von $p$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Anzahl der $\Q$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} von
\mathl{\Q[\sqrt{3}, \sqrt{7} ]}{} nach ${\mathbb C}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\zeta$ eine \definitionsverweis {primitive}{}{} $n$-te \definitionsverweis {komplexe Einheitswurzel}{}{.} Bestimme die Anzahl der $\Q$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} von
\mathl{\Q[\zeta ]}{} nach ${\mathbb C}$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und
\mathl{z \in L}{} ein Element. Es seien \maabbdisp {\rho_1 , \ldots , \rho_n} {L } {{\mathbb C} } {} die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei
\mathl{M=\{ z_1 , \ldots , z_k\}}{} die Menge der verschiedenen Werte
\mathl{\rho_i(z)}{.} Zeige, dass dann für das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $G$ von $z$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { (X- z_1)(X-z_2) \cdots (X-z_k) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und seien \maabb {\rho_i} {L} {{\mathbb C} } {} die $n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei
\mathl{z \in L}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_i }
{ = }{ \rho_i(z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass dann
\mathdisp {N(z)= z_1 \cdots z_n \text{ und } S(z)= z_1 + \cdots + z_n} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere Lemma 13.12 für die Extremfälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere Lemma 13.12 für die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(5) }
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ 625 } }
{ \cong }{\Z/(5) [X]/ { \left( X^4-2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Zwischenkörper
\mathl{{\mathbb F}_{ 25 }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {L }
{ \defeq} {\Q[ { \mathrm i} , \sqrt{2} ] }
{ =} { \Q[\zeta_8] }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta_8 }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{2} { \mathrm i} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{} zu $\zeta_8$ über den folgenden Zwischenkörpern
\mathbed {M} {}
{\Q \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {.} \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\Q[ { \mathrm i} ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\Q [ \sqrt{2} ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.


Ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {vollkommen}{,} wenn jedes \definitionsverweis {irreduzible Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossene Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Zeige, dass $K$ genau dann \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf $K$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Körper
\mathl{{\mathbb F}_p(X)}{} der rationalen Funktionen nicht \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K\subseteq L}{,} die nicht \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{,} die nicht \definitionsverweis {einfach}{}{} ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion \maabbeledisp {F} {K^n} {K } {(a_1 , \ldots , a_n)} {F(a_1 , \ldots , a_n) } {,} nicht die Nullfunktion ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen \mathkor {} {K} {und} {L} {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Es sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{M \neq K} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mathl{M \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

Mit
\mathl{K(X,Y)}{} wird der Quotientenkörper des Polynomrings
\mathl{K[X,Y]}{} bezeichnet.


\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(X^p,Y^p) }
{ \subseteq} { K(X,Y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dies keine \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}