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Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 20/latex

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\setcounter{section}{20}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ 1,2 , \ldots , 10 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} für welche $k$ der durch
\mathdisp {\zeta_n \mapsto \zeta_n^k} { }
festgelegte Automorphismus des \definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
\mathl{K_{ n }}{} ein Erzeuger der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K_{ n }$ der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über $\Q$. Zeige, dass derjenige Automophismus von $K_{ n }$, der der Einheit
\mathl{-1 \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} entspricht, die Einschränkung der \definitionsverweis {komplexen Konjugation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine durch $4$ teilbare Zahl, $W_n$ die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln und $K_{ n }$ der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{.} \aufzaehlungdrei{Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine Permutation von $W_n$? }{Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf $K_{ n }$? }{Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse einen $\Q$-\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} auf $K_{ n }$? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ = }{ e^{ 2 \pi { \mathrm i} /10} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \zusatzklammer {alle?} {} {} \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} \maabb {} { K_{ 10 } } { K_{ 10 } } {,} der $\zeta^3$ auf $\zeta^7$ abbildet. Wohin wird $\zeta^{9}$ abgebildet?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper $K_{ 5 }$ mit der $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1, \zeta, \zeta^2, \zeta^3}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta }
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i} / 5} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. \aufzaehlungzwei {Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu
\mathbed {\zeta^i} {}
{i = 0,1,2,3} {}
{} {} {} {,} bezüglich dieser Basis. } {Bestimme die Matrizen zu den Elementen der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( K_{ 5 } {{|}} \Q )}{} bezüglich dieser Basis. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Zwischenkörper des $7$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
\mathl{K_{ 7 }}{.} Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für
\mathl{n \leq 12}{,} wie viele Unterkörper der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_n$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{ K_{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \subseteq }{ K_{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abelsche Körpererweiterung}{}{} ist, also eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe abelsch ist.

}
{} {} Ein schwieriger Satz, der \stichwort {Satz von Kronecker-Weber} {,} besagt umgekehrt, dass man jede abelsche Körpererweiterung von $\Q$ als Unterkörper eines Kreisteilungskörpers realisieren kann.




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Realisiere die folgenden Gruppen als \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} einer geeigneten \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungvier{
\mathl{\Z/(4)}{,} }{
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(2)}{,} }{
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(4)}{,} }{
\mathl{\Z/(8)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mathl{K_1K_2}{} zu zwei \definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{} \mathkor {} {K \subseteq K_1} {und} {K \subseteq K_2} {} vom gewählten Oberkörper abhängen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {K \subseteq K_1} {und} {K \subseteq K_2} {} zwei \definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} \mathkor {} {d_1} {bzw.} {d_2} {.} Es sei
\mathl{K_1K_2}{} das in einem Oberkörper gebildete \definitionsverweis {Kompositum}{}{.} Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} K_1K_2 }
{ \leq }{d_1d_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X)} {und} {K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y)} {} zwei endliche \definitionsverweis {einfache Körpererweiterungen}{}{} von $K$.

a) Zeige, dass die $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{A=K[X,Y]/(F,G)}{} kein Körper sein muss.

b) Es sei
\mathl{K_1K_2}{} das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete \definitionsverweis {Kompositum}{}{.} Zeige, dass es einen surjektiven $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} von $A$ nach
\mathl{K_1K_2}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{{\mathbb F}_{q_1}}{} der Körper mit
\mathl{q_1=p^{e_1}}{} und
\mathl{{\mathbb F}_{q_2}}{} der Körper mit
\mathl{q_2=p^{e_2}}{} Elementen. Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{} \zusatzklammer {unabhängig vom gewählten Oberkörper} {} {} von \mathkor {} {{\mathbb F}_{q_1}} {und} {{\mathbb F}_{q_2}} {} gleich
\mathl{{\mathbb F}_{q}}{} mit
\mathl{q=p^e}{} und
\mathl{e= {\operatorname{KgV} \, \left( e_1,e_2 , \right) }}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_1,H_2 }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} mit den zugehörigen \definitionsverweis {Fixkörpern}{}{} \mathkor {} {K_1 = \operatorname{Fix}\, ( H_1 )} {und} {K_2 = \operatorname{Fix}\, ( H_2 )} {.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mathl{K_1K_2}{} gleich dem Fixkörper von
\mathl{H_1 \cap H_2}{} ist.

}
{} {}


Eine \definitionsverweis {geordnete Menge}{}{}
\mathl{(M, \leq)}{} mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Infimum}{}{}
\mathl{x \sqcap y}{} und ein \definitionsverweis {Supremum}{}{}
\mathl{x \sqcup y}{} existiert, heißt \definitionswort {Verband}{.}


In den beiden folgenden Aufgaben geht es insbesondere auch darum, jeweils die Verknüpfungen \mathkor {} {\sqcap} {und} {\sqcup} {} zu definieren.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der \definitionsverweis {erzeugten Untergruppe}{}{} einen \definitionsverweis {Verband}{}{} bildet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{} mit der Inklusion einen \definitionsverweis {Verband}{}{} bildet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.} Es sei $V$ der \definitionsverweis {Verband}{}{} der \definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{} der Erweiterung und sei $W$ der Verband der Untergruppen der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Galoiskorrespondenz}{}{} eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden \mathkor {} {V} {und} {W} {} gegeben ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{K_{ n }}{} der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{,}
\mathl{n \geq 3}{.} Zeige, dass es einen Zwischenkörper
\mathbed {L} {}
{\Q \subseteq L \subseteq K_{ n }} {}
{} {} {} {,} gibt, der eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{} von $\Q$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es seien
\mathl{K_{ n_1 }}{} und
\mathl{K_{ n_2 }}{} zwei \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über $\Q$. Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{} \zusatzklammer {unabhängig vom gewählten Oberkörper} {} {} von \mathkor {} {K_{ n_1 }} {und} {K_{ n_2 }} {} gleich
\mathl{K_{ n }}{} ist, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ {\operatorname{KgV} \, \left( n_1 , n_2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {m} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass das $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} über dem $m$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_{ m }$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathl{K \subseteq K(\zeta)}{} die \definitionsverweis {Adjunktion}{}{} einer $n$-ten \definitionsverweis {primitiven Einheitswurzel}{}{.} Zeige mit Hilfe von Satz 20.7 und der Theorie der Kreisteilungskörper \zusatzklammer {über $\Q$} {} {,} dass
\mathl{K \subseteq K(\zeta)}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist, deren Galoisgruppe \definitionsverweis {abelsch}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X)} {und} {K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y)} {} zwei endliche \definitionsverweis {einfache Körpererweiterungen}{}{} von $K$, deren \definitionsverweis {Grade}{}{} teilerfremd seien. Zeige, dass die $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{A=K[X,Y]/(F,G)}{} ein Körper ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mathl{F_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_n }
{ \leq }{ F_{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}