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Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 9/latex

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\setcounter{section}{9}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Finde \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den \definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(2)}{,}
\mathl{\Z/(3)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{,}
\mathl{\Z/(7)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(13)$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}

Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K= \Z/(59)}{} der Körper mit $59$ Elementen.

a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in $K$.

b) Berechne in $K$ die Zweierpotenzen $2^{4}$, $2^{8}$ und $2^{16}$.

c) Berechne $2^{29}$ in $K$.

d) Man gebe für jede mögliche \zusatzklammer {multiplikative} {} {} Ordnung in $K^\times$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine ungerade \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{\Z/(p)}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige, dass das Produkt von zwei \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} niemals primitiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von
\mathl{\Z/(8)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere einen Körper ${\mathbb F}_9$ mit $9$ Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{x \in { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{.} Es sei $a$ die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $x$ in der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(p),+,0)}{} und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe
\mathl{({ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}, \cdot , 1)}{.} Zeige, dass \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{\Z/(17)^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mathl{x \in \Z/(17) ^{\times}}{,} das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mathdisp {H \subseteq \Z/(17) ^{\times}} { }
an, die aus vier Elementen besteht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in ${\mathbb F}_{ 9 }$ für jedes Element die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Man gebe insbesondere die \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wie viele \definitionsverweis {primitive Elemente}{}{} besitzt der \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $529$ Elementen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(p) }
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Erweiterung \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{p^e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei $u$ eine \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} von ${\mathbb F}_{ q }$. Was ist die erste Potenz
\mathbed {u^n} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,} die zu $\Z/(p)$ gehört? Ist dieses $u^n$ ein primitives Element von ${ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $F$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen. Welche \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen
\mathl{\Z/(p^2)}{} und $F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rest von $44!$ modulo $47$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^{p-1}-1}{} in \definitionsverweis {irreduzible Polynome}{}{} im Polynomring
\mathl{\Z/(p)[X]}{.} Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Man gebe einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} bilden, in der jedes Element zu sich selbst \definitionsverweis {invers}{}{} ist.

}
{} {} Zeige insbesondere, dass die Gruppe in der vorstehenden Aufgabe nicht zyklisch ist.






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Finde \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den \definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(17)}{} und $\Z/(19)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Konstruiere zu einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Konstruiere \definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32}{} und $49$ Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $\mathbb F_9=\Z/(3)[Z]/(Z^2+1)$ der Körper mit $9$ Elementen \zusatzklammer {$z$ bezeichne die Restklasse von $Z$} {} {.} Führe in $\mathbb F_9[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^4+(1+2z)X^3+zX^2+2X+2+z} {und} {T=(z+1)X^2+zX+2} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Finde einen Erzeuger der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} mit $25$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

}
{} {}