Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 15
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ist.
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Bestimme eine Basis zum Orthogonalraum zu .
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum und der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum Untervektorräume sind.
Aufgabe
Es sei ein Untervektorraum eines - Vektorraumes. Zeige
Aufgabe *
Es sei ein - Vektorraum und seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum die Gleichheit
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung
Zeige
und dass die Einschränkung der dualen Abbildung
auf ein Isomorphismus ist.
Aufgabe *
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es Linearformen auf mit
gibt.
b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.
Aufgabe
Beschreibe den Raum der symmetrischen - Matrizen mit Linearformen.
Aufgabe
Es sei ein Körper.
a) Es sei eine - Matrix und eine -Matrix. Zeige, dass
ein Untervektorraum von ist.
b) Es sei ein - dimensionaler und ein -dimensionaler - Vektorraum und und Untervektorräume. Beschreibe den Untervektorraum
mit Hilfe von geeigneten Basen und Teil a).
Aufgabe
Es sei
und
a) Beschreibe den Untervektorraum der - Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von .
Aufgabe *
Es sei
und
a) Beschreibe den Untervektorraum der - Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von .
Aufgabe
Es seien und Vektorräume über einem Körper mit einer Basis von und einer Basis von . Zeige, dass
eine Basis des Homomorphismenraumes ist.
Aufgabe
Stelle die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung
im Sinne von Lemma 15.9 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.
Aufgabe *
Es sei
eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen - Vektorräumen und und es sei
die duale Abbildung. Zeige
Aufgabe
Es sei
eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen - Vektorräumen und und es sei
die duale Abbildung.
a) Zeige, dass für einen Untervektorraum die Beziehung
gilt.
b) Zeige, dass für einen Untervektorraum die Beziehung
gilt.
Aufgabe
Es sei
die abzählbar direkte Summe von mit sich selbst mit der Basis , . Es seien , , die Projektionen
a) Zeige, dass
eine Linearform auf ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.
b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von in sein Bidual nicht surjektiv ist.
Aufgabe *
Es sei ein Körper und es seien und zwei - Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung
die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension , und
Zeige, dass diese Linearformen genau dann linear unabhängig sind, wenn
ist.
Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)
Es sei
und
a) Beschreibe den Untervektorraum der - Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von .
Aufgabe (3 Punkte)
Stelle die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung
im Sinne von Lemma 15.9 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Dualraum und Bidual . Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die beiden Orthogonalräume (im Sinne von Definition 15.2) und (im Sinne von Definition 15.1) über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind.
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