Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde für die folgenden drei Mengen
(die alle die Form besitzen)
jeweils ein Polynom(mit Koeffizienten ) mit
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
ein Endomorphismen auf einem - Vektorraum und ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit
im Allgemeinen nicht gilt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 20.8 ändern
Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge
ein Hauptideal im Polynomring ist, das vom Minimalpolynom erzeugt wird.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Matrix mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass die Streckung mit dem Streckungsfaktor ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir besprechen die Minimalpolynome zu den Elementarmatrizen.
a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix gleich ist.
b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix mit gleich
ist.
c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix von der Form
ist. Was ist dabei ?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu drei Möglichkeiten gibt, nämlich und .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine - Matrix über gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix über mit dem Minimalpolynom . Es sei
eine Faktorzerlegung in Polynome von positivem Grad. Zeige, dass nicht bijektiv ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die lineare Abbildung
die durch festgelegt ist. Zeige, dass nur vom Nullpolynom annulliert wird.
- Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie
Aufgabe Aufgabe 20.15 ändern
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
ein Endomorphismus auf einem - Vektorraum und
ein Isomorphismus. Zeige, dass für jedes Polynom die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
- Ist wachsend?
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Besitzt einen Fixpunkt?
- Die Weihnachtsaufgabe
Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?
(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)
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