Kurs:Lineare Algebra I/Anwendungen des Gauß'schen Algorithmus (zur Wiederholung)

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Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:

und analog für Spaltenoperationen:

Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit einer Basis B = {b₁,...,b_n}.

Für eine Menge von Vektoren gelte v_j = a_1jb₁ + ... + a_njb_n, d.h. . Der wichtigste Fall ist V = Kⁿ und B = I die kanonische Basis. sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren v₁,...,v_k.

Inhaltsverzeichnis 1 Basisbestimmung 2 Basisauswahl 3 Basisergänzung 4 Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung 5 Lösungsbasis eines homogenen Systems 6 Basis des Kerns einer linearen Abbildung 7 Inverse einer quadratischen Matrix 8 Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden 9 Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden 10 Basis der Summe zweier Unterräume

[Bearbeiten] Basisbestimmung

Gegeben: .

Gesucht: Basis von .

Verfahren: Bringe A^t auf Zeilenstufenform Ã^t. Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten von à bilden die Koordinaten einer Basis.

[Bearbeiten] Basisauswahl

Gegeben: .

Gesucht: Maximale linear unabhängige Teilmenge.

Verfahren: Bringe A auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen Vektoren v_j , deren Index j einer Stufenspalte in à entspricht, bilden eine gesuchte Teilmenge.

[Bearbeiten] Basisergänzung

Gegeben: linear unabhängig, sowie eine Basis B von V.

Gesucht: Vektoren v_{k + 1},...,v_n, so dass {v₁,...,v_n} eine Basis von V.

Verfahren: Bringe (A|B) auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen b_j der Basis B, deren Index j die Eigenschaft hat, dass die (k + j)-te Spalte von à eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.

[Bearbeiten] Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung

Gegeben: Sei A = M(f) eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung .

Gesucht: rg(f): = dim(Im(f)) und eine Basis vom Im(f) = f(V).

Verfahren: Bringe A in Spaltenstufenform Ã, dann ist rg(f) die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von à und die Spalten von A, deren Index Stufenindex von à ist, bilden eine Basis von Im(f).

[Bearbeiten] Lösungsbasis eines homogenen Systems

Gegeben: Ax = 0

Gesucht: Basis vom Unterraum {x | Ax = 0}.

Verfahren: Überführe A^t in eine Zeilenstufenform A' .

,

dann sind die Zeilen von C₂ eine Lösungsbasis.

[Bearbeiten] Basis des Kerns einer linearen Abbildung

Gegeben: siehe (4.)

Gesucht: Basis von Ker(f) = f ^{− 1}(0).

Verfahren: Bestimme eine Lösungsbasis von Ax = 0. Diese sind die Koordinaten einer Basis von Ker(f).

[Bearbeiten] Inverse einer quadratischen Matrix

Gegeben: .

Gesucht: A ^{− 1}, falls A invertierbar.

Verfahren: Bringe auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls A invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt .

[Bearbeiten] Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden

Gegeben: U = Lin(v₁,...,v_k).

Gesucht: Matrix mit der Eigenschaft, dass ; hierbei ist p = n − dim(U).

Verfahren 1: Bestimme Basislösungen von A^tx = 0. Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix C.

Verfahren 2: Bringe auf Zeilenstufenform à . Sei l, , die Anzahl der Stufen unter den ersten k Spalten von Ã, dann ist die rechte untere Teilmatrix von à des Formates (n − l,n) eine gesuchte Matrix C.

[Bearbeiten] Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden

Gegeben: Erzeugende für zwei Unterräume U₁ und U₂ von V .

Gesucht: Basis von .

Verfahren 1: Bestimme Matrizen und zu U₁ bzw. U₂ nach (4.). Dann liefert die Matrix ein Gleichungssystem für . Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in B.

Verfahren 2: Bilde die Matrizen bzw. aus den Erzeugenden von U₁ bzw. U₂. Bestimme die Matrix der Basislösungen von , A: = (A₁ | A₂). Sei die Teilmatrix von C der ersten k₁ Zeilen, dann sind die Spalten von die Koordinaten einer Basis von .

[Bearbeiten] Basis der Summe zweier Unterräume

Gegeben: siehe (8.).

Gesucht: Basis von U₁ + U₂.

Verfahren: Bestimme aus der Vereinigung der Erzeugenden nach (1.) oder (2.) eine Basis.