Kurs:Lineare Algebra I/Determinanten
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Begriff, Eigenschaften, Hauptsatz
Motivationen: Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Parallelotops, Charakterisierung linear unabhängiger Vektoren, Bestimmung des Rangs einer linearen Abbildung.
[Bearbeiten] Definition 5.1
- Eine n-te Determinantenfunktion über K ist eine Abbildung
-
- mit folgenden Eigenschaften:
- (d1)
ist linear in jeder Spalte von
; - (d2)
, falls in
zwei Spalten gleich sind; - (d3)
.
In der obigen Definition und dem Lemma ändert sich nichts, wenn das Wort Spalte jeweils durch das Wort Zeile ersetzt wird.
[Bearbeiten] Theorem 5.2 (Hauptsatz über Determinantenfunktionen)
- Eine n-te Determinantenfunktion existiert und ist eindeutig bestimmt.
[Bearbeiten] Lemma 5.3
- Eine Determinantenfunktion erfüllt die folgenden Regeln:
- (d4) Der Wert von
ändert sich nicht bei Anwendung einer Spaltenoperation
auf
. - (d5) Die Vertauschung zweier Spalten von
ändert das Vorzeichen von
. - (d6)
, wenn eine Spalte von
der Nullvektor ist.
Damit kann die Determinante mittels des Gauß-Algorithmus berechnet werden. Verfahren 1:
- Unter Anwendung von Zeilenoperationen nur der Typen ’p’ und ’q’ wird
auf (nicht normierte) reduzierte Zeilen-Stufenform
gebracht. Nach (d1) und (d5) gilt:
, wobei k = Anzahl der benutzten Vertauschungen ’p’.
ist entweder Diagonalmatrix oder enthält eine Nullzeile. Im ersten Fall gilt
nach (d1) und (d3), ansonsten ist
nach (d2).
Warum reicht es aus,
nur auf Dreieckform zu bringen?
[Bearbeiten] Hauptsatz und Folgerungen
[Bearbeiten] Theorem 5.3 (Hauptsatz über Determinantenfunktionen)
Eine n-te Determinantenfunktion existiert und ist eindeutig bestimmt.
[Bearbeiten] Korollar 5.4 (Folgerungen aus dem Hauptsatz)
- (1) (Leibniz-Formel)
.
- (2)
,
Dreiecksmatrix. - (3)
. - (4)
. - (5)
gdw.
. - (6)
.
Erläuterung der Notation:
bezeichnet eine Permutation, d. h. eine Umordnung der Zahlen
. Das Signum
ist das Vorzeichen der Permutation
, d. h.
oder
. Eine quadratische Matrix
ist obere (resp. untere) Dreiecksmatrix, wenn
für alle
(resp.
).
Im Beweis werden folgende Aussagen über Permutationen verwendet:
- (1)
, wobei
die Anzahl der Vertauschungen in
ist und
ist unabhängig von der Auswahl der Vertauschungen. - (2) Es gilt
.
[Bearbeiten] Geometrische Deutung der Determinante
Die Determinante einer reellen Matrix beschreibt das orientierte (d.h. mit einem Vorzeichen versehenen) Volumen des Parallelotops, das durch die Spaltenvektoren von
aufgespannt wird.
-
,
.
[Bearbeiten] Entwicklungssatz und Anwendungen
[Bearbeiten] Theorem 5.5 (Entwicklungssatz von Laplace)
;
Untermatrix von
nach Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte.
Beispiel zur Berechnung der Determinante einer 3 x 3 Matrix.
[Bearbeiten] Satz 5.6 (Cramersche Regel)
- Sei
, dann ist die eindeutige Lösung von
gegeben durch
.
[Bearbeiten] Corollar 5.7
, wobei
die Matrix der Adjunkten
ist.
(Transposition beachten!)
Bemerkung: Zur Berechnung konkreter Determinanten wird der Entwicklungssatz nur für spezielle Matrizen angewendet, so, wenn die Matrix dünn besetzt ist oder eine spezielle Struktur aufweist. Für die Auswertung von Determinanten kleinerer Matrizen ’mit Hand’ kann die Kombination von Entwicklungssatz und Gauß Algorithmus nützlich sein.

ist linear in jeder Spalte von
, falls in
.
ändert sich nicht bei Anwendung einer Spaltenoperation
auf
gebracht. Nach (d1) und (d5) gilt:
, wobei k = Anzahl der benutzten Vertauschungen ’p’.
nach (d1) und (d3), ansonsten ist
nach (d2).
.
,
Dreiecksmatrix.
.
.
gdw.
.
.
, wobei
die Anzahl der Vertauschungen in
ist unabhängig von der Auswahl der Vertauschungen.
.
,
.
;
Untermatrix von
gegeben durch
.
, wobei
die Matrix der Adjunkten
ist.