Kurs:Lineare Algebra I/Determinanten

Begriff, Eigenschaften, Hauptsatz

Motivationen: Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Parallelotops, Charakterisierung linear unabhängiger Vektoren, Bestimmung des Rangs einer linearen Abbildung.

Definition 5.1

Eine n-te Determinantenfunktion über K ist eine Abbildung

$\det : Mat(n, n;K) \to K$

mit folgenden Eigenschaften:

(d₁) $\det$ ist linear in jeder Spalte von $A$;

(d₂) $\det(A) = 0$, falls in $A$ zwei Spalten gleich sind;

(d₃) $\det(\mathbb{E}) = 1$.

In der obigen Definition und dem Lemma ändert sich nichts, wenn das Wort Spalte jeweils durch das Wort Zeile ersetzt wird.

Theorem 5.2 (Hauptsatz über Determinantenfunktionen)

Eine n-te Determinantenfunktion existiert und ist eindeutig bestimmt.

Lemma 5.3

Eine Determinantenfunktion erfüllt die folgenden Regeln:

(d₄) Der Wert von $\det(A)$ ändert sich nicht bei Anwendung einer Spaltenoperation $q_{ik}(\lambda)$ auf $A$.

(d₅) Die Vertauschung zweier Spalten von $A$ ändert das Vorzeichen von $\det(A)$.

(d₆) $\det(A) = 0$, wenn eine Spalte von $A$ der Nullvektor ist.

Damit kann die Determinante mittels des Gauß-Algorithmus berechnet werden. Verfahren 1:

Unter Anwendung von Zeilenoperationen nur der Typen ’p’ und ’q’ wird $A$ auf (nicht normierte) reduzierte Zeilen-Stufenform $A'$ gebracht. Nach (d₁) und (d₅) gilt: $\det(A) = (-1)^k \det(A')$, wobei k = Anzahl der benutzten Vertauschungen ’p’. $A'$ ist entweder Diagonalmatrix oder enthält eine Nullzeile. Im ersten Fall gilt $\det(A') = a_{11} \cdot ... \cdot a_{nn}$ nach (d₁) und (d₃), ansonsten ist $det(A') = 0$ nach (d₂).

Warum reicht es aus, $A$ nur auf Dreieckform zu bringen?

Hauptsatz und Folgerungen

Theorem 5.3 (Hauptsatz über Determinantenfunktionen)

Eine n-te Determinantenfunktion existiert und ist eindeutig bestimmt.

Korollar 5.4 (Folgerungen aus dem Hauptsatz)

(1) (Leibniz-Formel)

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma)a_{1 \sigma(1)} ... a_{n \sigma(n)}$.

(2) $\, \det(\Delta) = d_{11} ... d_{nn}$, $\, \Delta =$ Dreiecksmatrix.

(3) $\, \det(AB) = \det(A) \det(B)$.

(4) $\det(A^{-1}) = \frac {1} {\det(A)}$.

(5) $\det(A) \neq 0$ gdw. $\, rg(A) = n$.

(6) $\, \det(A^t) = \det(A)$.

Erläuterung der Notation:

$\sigma \in S_n$ bezeichnet eine Permutation, d. h. eine Umordnung der Zahlen $\, \{1, ... , n\}$. Das Signum $\, \sgn( \sigma)$ ist das Vorzeichen der Permutation $\, \sigma$, d. h. $\, \sgn( \sigma) := \prod_{1 \le i < j \le n} \frac{ \sigma(i)- \sigma(j)} {i-j} = 1$ oder $\, = -1$. Eine quadratische Matrix $\,\Delta = (d_{ij})$ ist obere (resp. untere) Dreiecksmatrix, wenn $\, d_{ij} = 0$ für alle $\ i > j$ (resp. $\, i < j$).

Im Beweis werden folgende Aussagen über Permutationen verwendet:

(1) $\, \sgn( \sigma) = (-1)^a$, wobei $\, a$ die Anzahl der Vertauschungen in $\, \sigma$ ist und $\, (-1)^a$ ist unabhängig von der Auswahl der Vertauschungen.

(2) Es gilt $\, \sgn(\sigma \tau) = \sgn(\sigma) \sgn( \tau)$.

Geometrische Deutung der Determinante

Die Determinante einer reellen Matrix beschreibt das orientierte (d.h. mit einem Vorzeichen versehenen) Volumen des Parallelotops, das durch die Spaltenvektoren von $\, A$ aufgespannt wird.

$\, vol(P_A) = |\det(A)|$, $P_A = P(a_1, ..., a_n) = \{ \lambda_1 a_1 + ... + \lambda_n a_n | 0 \le \lambda_1, ..., \lambda_n \le 1\}$.

Entwicklungssatz und Anwendungen

Theorem 5.5 (Entwicklungssatz von Laplace)

$\det(A) = \sum^n_{k=1} (-1)^{k+j}a_{kj} \det(A_{kj}) = \sum^n_{k=1} (-1)^{i+k}a_{ik} \det(A_{ik})$;

$A_{ij} :=$ Untermatrix von $A$ nach Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte.

Beispiel zur Berechnung der Determinante einer 3 x 3 Matrix.

Satz 5.6 (Cramersche Regel)

Sei $\det(A) \neq 0$, dann ist die eindeutige Lösung von $Ax = b$ gegeben durch

$x_i = \frac {1}{\det(A)} \det \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1i-1} & b_1 & a_{1i+1} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \ddots& \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & ... & a_{ni-1} & b_n & a_{ni+1} & ... & a_{nn}\end{pmatrix}$.

Corollar 5.7

$A^{-1} = \frac {1}{\det(A)} (A^\#)^t$, wobei $A^\# = (a^\#_{ij})$ die Matrix der Adjunkten $a^\#_{ij} := (-1)^{i+j}det(A_{ij})$ ist.

(Transposition beachten!)

Bemerkung: Zur Berechnung konkreter Determinanten wird der Entwicklungssatz nur für spezielle Matrizen angewendet, so, wenn die Matrix dünn besetzt ist oder eine spezielle Struktur aufweist. Für die Auswertung von Determinanten kleinerer Matrizen ’mit Hand’ kann die Kombination von Entwicklungssatz und Gauß Algorithmus nützlich sein.