Kurs:Lineare Algebra I/Lineare Abbildungen

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Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Abbildungen

[Bearbeiten] Lineare Abbildungen

Zu Vektorräumen gehört eine Klasse von Abbildungen, die die Rechenoperationen respektieren, die sogenannten linearen Abbildungen. Im reellen Standardraum $\mathbb{R}^n$ sind genau die stetigen Abbildungen, die Geraden und Parallelität erhalten und den Ursprung fixieren, linear.

[Bearbeiten] Definition 2.18

Eine Abbildung $f : V \rightarrow W$ zweier $\, K\!$ -Vektorräume heißt linear oder genauer $\, K\!$ -linear, wenn für alle $v, v' \in V$ und $\lambda \in K$ gilt:

( $\, l_1\!$ ) $\, f(v + v')= f(v) + f(v')$ ,

( $\, l_2$ ) $\, f(\lambda v) = \lambda f(v)$ .

[Bearbeiten] Beispiele

– Nullabbildung: $v \mapsto 0$ .

– Homothetien: $v \mapsto \lambda v$ , ( $\, \lambda$ = ein fixiertes Körperelement).

– Projektionen auf eine Komponente: $x \in K^n \mapsto x_i \in K$ .

– Jede Matrix $A = (a_{ij}) \in Mat(m, n)$ bestimmt eine lineare Abbildung (wichtig!)

$f_A : K^n \rightarrow K^m; (x_1, ..., x_n) \mapsto (\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, ..., \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j)$

– Die Ableitung einer Funktion induziert eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der reellen differenzierbaren Funktionen, insbesondere auf dem Raum der rellen Polynome:

$\partial/\partial x : \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X], f(X) \mapsto f'(X)$

[Bearbeiten] Lemma 2.19

Für jede lineare Abbildung $f : V \rightarrow W$ gelten:

(1) $\,f (0) = 0$ ,

(2) $\,U \subset V$ Unterraum $\Rightarrow f(U) \subset W$ Unterraum,

(3) $\,Z \subset W$ Unterraum $\Rightarrow f^{-1}(Z) \subset V$ Unterraum,

(4) $\,f$ bijektiv (eineindeutig) $\Rightarrow f^{-1}$ linear,

(5) $\,g : W \rightarrow Z$ linear $\Rightarrow g \circ f : V \rightarrow Z$ linear.

Bezeichnung: Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

[Bearbeiten] Definition 2.20

Der Kern bzw. das Bild einer linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ sind definiert durch $Ker(f) := \{v \in V | f(v) = 0\}$ bzw. $Im(f) := \{f(v) \in W | v \in V\}$ .

Bemerkungen:

Nach Lemma 2.19 sind $\, Ker(f)$ und $\, Im(f)$ Unterräume.
Eine lineare Abbildung $\, f$ ist injektiv gdw. $\, Ker(f) = \{0\}$ .
Die Menge aller linearen Abbildungen von $\,V$ nach $\,W$ ist selbst ein Vektorraum und Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen:

$Hom(V,W) := \{f | f : V \rightarrow W, f ~\mbox{linear}\} \subset Abb(V,W)$ .

Dabei ist die Addition und die Skalarmultiplikation von Abbildungen durch die Operationen im Bildraum gegeben, also durch $\, (f+g)(v):= f(v)+g(v)$ und $\, (\lambda f)(v) := \lambda (f(v))$ .

Nach Lemma 2.19 (5) induziert die Verknüpfung linearer Abbildungen eine Abbildung

$\circ : Hom(V,W) \times Hom(W,Z) \rightarrow Hom(V,Z)$ $(f, g) \mapsto g \circ f$ .

Fixiert man jetzt $\, f$ (bzw. $\, g$ ), so erhält man jeweils Abbildung

$\circ f : Hom(W,Z) \rightarrow Hom(V,Z)$ bzw. $g \circ : Hom(V,W) \rightarrow Hom(V,Z)$

Diese Abbildungen sind jeweils linear.

[Bearbeiten] Satz 2.21 (2. Dimensionsformel)

$\, \dim(V ) = \dim(Ker(f)) + \dim(Im(f))$ .

[Bearbeiten] Satz 2.22 (Prinzip der linearen Fortsetzung)

Ist $\, \{v_1, ..., v_n\}$ eine Basis von $\,V$ , so existiert zu jeder Auswahl von $\, n$ Vektoren $w_1, ..., w_n \in W$ genau eine lineare Abbildung $\,f : V \rightarrow W$ , so dass $\, f(v_i) = w_i$ für $\,i = 1, ..., n$ .

[Bearbeiten] Korollar 2.23

Jeder $\, n$ -dimensionale $\, K\!$ -Vektorraum $\, V$ ist isomorph zu $\, K^n$ .

[Bearbeiten] Beweis

Nach dem Existenzsatz für Basen (siehe Kurs:Lineare_Algebra_I/Endlich_erzeugte_Vektorräume#Lineare_Unabh.C3.A4ngigkeit.2C_Basis.2C_Dimension) besitzt $\, V$ eine Basis aus $\, n$ Vektoren, sagen wir $\, v_1 , \ldots , v_n$ . Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzbarkeit gibt es eine $\, K\!$ -lineare Abbildung

$\, \varphi: K^n \rightarrow V, e_i \mapsto v_i ,\, i=1 , \ldots n$ .

Diese Abbildung ist surjektiv, da $\, v_1 , \ldots , v_n$ ein |Erzeugendensystem von $\, V$ ist, und injektiv, da $\, v_1 , \ldots , v_n$ |linear unabhängig sind. Damit ist $\, \varphi$ ein Isomorphismus.

[Bearbeiten] Korollar 2.24

Die Zuordnung $A \mapsto f_A$ induziert einen Isomorphismus des Vektorraumes der Matrizen auf den Vektorraum der linearen Abbildungen: $Mat(m, n;K) \cong Hom(K^n,K^m)$ .