Kurs:Lineare Algebra I/Matrix-Kalkül

Aus Wikiversity

< Kurs:Lineare Algebra I

Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

1 Rang und assoziierte Unterräume
2 Matrixprodukt
- 2.1 Definition 3.4
3 Reguläre Matrizen
- 3.1 Satz 3.5
- 3.2 Definition 3.6
4 Elementarmatrizen
5 Koordinaten-Kalkül

[Bearbeiten] Rang und assoziierte Unterräume

a) Matrizen als Vektorraum (zur Wiederholung)

Neben den elementaren Zeilenoperationen sind die folgenden Operationen naheliegend:

Addition von Matrizen mit gleichem Typ:

$+ : Mat(m, n;K) \times Mat(m, n;K) \rightarrow Mat(m, n;K), (A,B) \mapsto A + B := (a_{ij} + b_{ij})$ .

Skalare Multiplikation einer Matrix mit einer Konstanten:

$\cdot : K \times Mat(m, n;K) \rightarrow Mat(m, n;K), (r,A) \mapsto rA := (ra_{ij})$ .

Mit diesen Operationen wird die Menge $M a t (m, n; K)$ zu einen K-Vektorraum. Testfrage: Welche Dimension hat dieser Vektorraum?

Eine weitere (einstellige) Operation:

Transposition einer Matrizen:

$^t : Mat(m, n;K) \rightarrow Mat(n,m;K), A = (a_{ij}) \mapsto A^t := (a_{ji})$ .

Dabei werden die Spalten und Zeilen miteinander vertauscht.

Regeln: $(A + B) t = (A t + B t)$ und $(r A) t = r (A t)$ , d.h. $- t$ ist linear (und bjektiv), also ein Isomorphismus der Vektorräume.

b) Unterräume assoziiert zu einer Matrix

Einer Matrix $A \in Mat(m, n;K)$ ordnen wir drei Unterräume zu:

$Z(A) \subseteq K^n$ - Zeilenvektorraum, erzeugt von den Zeilenvektoren von $A$ ,
$S(A) \subseteq K^m$ - Spaltenvektorraum, erzeugt von den Spaltenvektoren von $A$ ,
$H(A, 0) \subseteq K^n$ - Lösungsraum des zu $A$ zugehörigen linearen Gleichungssystems.

Bemerkung: Der Zeilenraum einer Matrix ist unter Zeilenoperationen (also beim Gauß-Algorithmus) invariant.

Aus den Sätzen 1.10 und 2.8 erhalten wir:

[Bearbeiten] Satz 3.1 (3. Dimensionsformel)

$dim\mathcal{Z}(A) = dim\mathcal{S}(A) = n - dim\mathcal{H}(A, 0)$ .

Nur für den Körper der reellen Zahlen (oder dessen Unterkörper wie $\mathbb{Q}$ ) gilt die folgende Aussage:

[Bearbeiten] Lemma 3.2

Sei $K = \mathbb{R}$ , dann ist $\mathcal{Z}(A) \cap \mathcal{H}(A, 0) = \{0\}$ , insbesondere sind $\mathcal{Z}(A)$ und $\mathcal{H}(A, 0)$ komplementär.

Wir können nun eine vom Gauß-Algorithmus unabhängige Charakterisierung des Ranges geben.

[Bearbeiten] Definition 3.3

Der Rang einer Matrix ist die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix, d.h. $rg (A) = dim\mathcal{Z}(A) = dim \mathcal{S}(A)$ .

[Bearbeiten] Matrixprodukt

Die Multiplikation von Matrizen kann auf die Verknüpfung linearer Abbildungen zurückgeführt werden. Idee: Seien $A \in Mat(m, n;K)$ und $B \in Mat(n, k;K)$ zwei Matrizen, dann liefert die Verknüpfung $f_A \circ f_B$ eine lineare Abbildung $g : K^k \rightarrow K^m$ , die gerade vom Produkt der Matrizen $A \cdot B$ induziert sein soll, d.h. die Produktmatrix $C = A \cdot B$ wird durch die Gleichung $f_C = f_A \circ f_B$ eingeführt.

[Bearbeiten] Definition 3.4

Das Produkt zweier Matrizen $A = (a_{ij}) \in Mat(m, n;K)$ und $B = (b_{jl}) \in Mat(n', k;K)$ ist definiert, falls Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B (also $n = n'$ ) und ergibt eine Matrix vom Typ $m \times k =$ Zeilenzahl(A) $\times$ Spaltenzahl(B): $A \cdot B := (\sum^n_{j=1} a_{ij}b_{jl}) \in Mat(m, k;K)$ .

Das Produkt von Matrizen induziert Abbildungen $Mat(m, n;K) \times Mat(n, k;K) \rightarrow Mat(m, k;K)$ .

Sofern die Produkte definiert sind gelten folgende Regeln:

a)

A (B C) = (A B) C

,

b)

A (B + C) = A B + A C

,

c)

(A + B) C = A C + B C

,

d)

r (A B) = (r A) B = A (r B)

,

e)

(A B) t = B t A t

,

f)

I m A = A I n = A

, wobei $A \in Mat(m, n)$ und

I n

die (n, n)-Matrix aus den n Einheitsvektoren.

Achtung: Auch für quadratische Matrizen ist das Produkt in der Regel nicht kommutativ.

Vereinfachte Schreibweisen:

a) Ein lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix $(A, b): A \cdot x = b,$ $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

b) Die einer Matrix A zugeordnete lineare Abbildung $f_A : K^n \rightarrow K^m: f_A(x) = A \cdot x$ .

c) $Ker(f_A) = \mathcal{H}(A, 0)$

d) $Im(f_A) = \mathcal{S}(A) = \{b | \mathcal{H}(A, b) \neq \O\}$

e) $f^{-1}_A(b) = \mathcal{H}(A, b)$

Üblicherweise wird der Punkt bei der Matrixmultiplikation weggelassen.

[Bearbeiten] Reguläre Matrizen

Im folgenden Abschnitt werden ausschließlich quadratischen Matrizen betrachtet: $M a t n : = M a t (n, n)$ . Hier ist die Multiplikation unbeschränkt ausführbar. Wir fragen nach der Existenz einer zu $A$ inversen Matrix, d.h. nach einer Lösung der Matrixgleichung $A X = I n$ .

[Bearbeiten] Satz 3.5

Die Matrixgleichung $A X = I n$ , $A \in Mat_n$ , ist lösbar gdw. $r g (A) = n$ . Ist die Gleichung lösbar, dann ist die Lösung eindeutig.

Die eindeutige Lösung bezeichnen wir mit $A - 1$ , die Inverse von $A$ . Quadratische Matrizen mit maximalem Rang nennen wir regulär. Die Menge aller regulären Matrizen bezeichnen wir mit $G l n$ .

[Bearbeiten] Definition 3.6

Eine Matrix $A \in Mat_n$ heißt regulär, wenn $r g (A) = n$ .

Rechenregeln:

Seien $A,B \in Gl_n$ , dann sind

A B

und

A t

ebenfalls regulär und es gilt:

(A B) - 1 = B - 1 A - 1

und

(A t) - 1 = (A - 1) t

.

Testfragen:

Wie sieht die reduzierte Zeilen-Stufenform einer regulären Matrix aus?

Welchen Rang hat

A - 1

? (Begründung?)

Rechenverfahren: Bestimmung der Inversen

Überführe $(A, I_n) \in Mat(n, 2n)$ in die reduzierte Zeile-Stufenform. Resultat:

(I n, A - 1)

.

Bemerkungen: Die Menge aller regulären Matrizen bildet eine Gruppe, die lineare Gruppe. Wir führen den Gruppenbegriff erst später ein, hier bedeutet dies: Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und ebenso ihre Inverse. Bezeichnung: $Gl_n(K) := \{A \in Mat(n, n;K) | A\ regulaer\}$ .

[Bearbeiten] Elementarmatrizen

Die elementaren Zeilen- (bzw. Spalten-) operationen werden durch Multiplikation mit den sogenannten Elementarmatrizen induziert.

[Bearbeiten] Definition 3.7

Die Anwendung einer elementaren Zeilenoperation $p i k$ , $q i k (λ)$ oder $m i (λ)$ auf die Einheitsmatrix $I n$ ergibt eine zugehörige Elementarmatrix, die wir entsprechend der Elementaroperation mit $P i k$ , $Q i k (λ)$ bzw. $M i (λ)$ bezeichnen.

[Bearbeiten] Satz 3.8

Sei $o$ eine der elementaren Zeilenoperationen $p i k$ , $q i k (λ)$ , $m i (λ)$ und $O$ die zugehörige Elementarmatrix, dann gilt: $A \stackrel{o}{\rightsquigarrow} A' = O \cdot A$ .

Bemerkungen: Für eine analoge Spaltenoperation gilt: $A \stackrel{\rightsquigarrow}{o} A' = A \cdot O^t$ , wobei $O t$ die Transponierte von $O$ ist.

[Bearbeiten] Lemma 3.9

a) Jede reguläre Matrix ist Produkt von Elementarmatrizen.

b) Ist $A \rightsquigarrow A'$ ein Folge elementarer Zeilenoperationen, dann existiert eine Matrix $C \in Gl_m$ mit

A' = C A

.

c) Ist $A \rightsquigarrow A'$ eine Folge elementarer Spaltenoperationen, dann existiert eine Matrix $D \in Gl_n$ mit

A' = A D

.

d) Zu jeder Matrix $A \in Mat(m, n)$ ,

r g (A) = r

, gibt es Matrizen $C \in Gl_m$ und $D \in Gl_n$ mit

$CAD=\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

[Bearbeiten] Koordinaten-Kalkül

[Bearbeiten] Definition 3.10

Jede Basis $B = {b 1,..., b n}$ eines Vektorraumes $V$ induziert durch die Zuordnung $b_i \mapsto e_i$ einen Koordinatenisomorphismus $\phi_B : V \rightarrow K^n$ . Hierbei heißt das n-Tupel $(x) B$ Koordinaten von x bzgl. B und ergibt sich aus den Koeffizienten der eindeutigen Darstellung von x als Linearkombination von B: $x = λ 1 b 1 + ... + λ n b n$ , $(x)_B = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$ .

[Bearbeiten] Satz 3.11

Für die Umrechnung von Koordinaten gilt: Sind $B$ und $B'$ zwei Basen von $V$ , so ist $(x)_{B'} = T \cdot (x)_B$ , wobei die Transformationmatrix $T = T^B_{B'}$ die Matrix zur Abbildung $\phi_{B'} \circ \phi^{-1}_B$ ist.

[Bearbeiten] Definition 3.12

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ bzgl. einer Basis $B$ von $V$ und einer Basis $C$ von $W$ ist die zu $\phi_C \circ f \circ \phi^{-1}_B$ gehörige Matrix, $M^B_C (f) = M(\phi_C \circ f \circ \phi^{-1}_B)$ .

Die Matrixdarstellung lässt sich am einfachsten mit einem Diagramm von Abbildungen erklären.

Die Matrix $M(f) = M^B_C(f)$ wird wie folgt aufgestellt: Die $n = d i m (V)$ Spalten ergeben sich aus den Koordinaten bzgl. $C$ der Bilder der Basisvektoren $(f (b 1)) C,...,(f (b n)) C$ von $B$ , abgekürzt $M^B_C (f) = (f(B)_C) \in Mat(m, n;K)$ . Die Umrechnung der Darstellungen bzgl. verschiedener Basen kann man sich an entsprechenden Abbildungsdiagrammmen verdeutlichen.

[Bearbeiten] Satz 3.13

Es gelten die folgenden Transformationsformeln, dabei sind $B$ , $B'$ Basen von $V$ , sowie $C$ und $C'$ Basen von $W$ und $f \in Hom(V,W)$ eine lineare Abbildung:

(1) $(f(x))_C = M^B_C (f) \cdot (x)_B$

(2) $M^{B'}_{C'} (f) = T^C_{C'} \cdot M^B_C (f) \cdot T^{B'}_B$

(3) $M^B_{B'} (id_V) = T^B_{B'} = (T^{B'}_B)^{-1} = M^{B'}_B (id_V)^{-1}$

Bemerkung:

Ist $B$ eine Basis von $K n$ und bezeichne $B$ ebenfalls die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren der Basis $B$ gebildet werden, so gilt: $B = T^B_I$ , $I$ bezeichne die kanonische Basis ${e 1,..., e n}$ .