Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 15/latex
\setcounter{section}{15}
Zu einem Maßraum $X$ gibt es den Vektorraum der auf $X$ definierten messbaren ${\mathbb K}$-wertigen Funktionen und darin den Untervektorraum der integrierbaren Funktionen. Wenn $X$ ein topologischer oder ein metrischer Raum ist, so gibt es den Raum der stetigen Funktionen auf $X$, die bezüglich der \definitionsverweis {Borel-Mengen}{}{} auch messbar sind, aber ohne weiteres nicht integrierbar sind. In den folgenden Vorlesungen werden wir versuchen zu verstehen, wie diese Funktionsklassen zusammenhängen und insbesondere, welche Approximationseigenschaften gelten. Um präzise von Approximation sprechen zu können, werden wir die angesprochenen Funktionenräume mit Normen bzw. Metriken versehen. Da messbare Funktionen, die außerhalb einer Nullmenge die Nullfunktion sind, zwar nicht selbst die Nullfunktion sind, aber doch für viele Fragen so behandelt werden können, ist es wichtig, auch die Konzepte Halbmetrik und Halbnorm zur Verfügung zu haben.
\inputbeispiel{}
{
Zu einer Menge $M$ kann man den reellen Vektorraum $V$ aller Funktionen
\maabb {f} {M} {\R
} {}
betrachten. Ein wichtiger Konvergenzbegriff ist die
\definitionsverweis {punktweise Konvergenz}{}{.}
Wenn man den Untervektorraum der beschränkten reellwertigen Funktionen betrachtet, so kann man diesen Untervektorraum mit der Supremumsnorm versehen, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } ,x \in M ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist. Die Konvergenz einer Funktionenfolge bezüglich der Supremumsnorm bedeutet dann die
\definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{}
der Funktionenfolge, siehe
Aufgabe 55.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Diese Konvergenz ist stärker als die punktweise Konvergenz.
Die konstanten Funktionen und die Funktionen mit nur endlich vielen Werten
\zusatzklammer {bzw. die \definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{} im Falle eines Messraumes} {} {} bilden besonders einfache Untervektorräume des Funktionenraumes zu $M$. Wenn $M$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} ist, so kann man die Untervektorräume der stetigen Funktionen oder der stetigen beschränkten Funktionen betrachten. Wenn $M$ ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{} ist, so kann man den Untervektorraum der messbaren oder den Untervektorraum der integrierbaren Funktionen betrachten. In all diesen Situationen kann man Approximamtionseigenschaften und Konvergenzfragen untersuchen. Resultate in diese Richtung sind Lemma 8.11, Satz 10.3, Satz 10.9.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $( M, {\mathcal A } , \mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und $V$ der Vektorraum der
\definitionsverweis {integrierbaren Funktionen}{}{}
auf $M$. Dann ist es naheliegend, durch
\mathl{\int_M \betrag { f } d \mu}{} eine \anfuehrung{Norm}{} auf diesem Raum zu definieren. Allerdings ist dies keine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
im Sinne der Definition, da das Integral einer nichtnegativen Funktion gleich $0$ sein kann, ohne dass die Funktion selbst die Nullfunktion ist.
}
\zwischenueberschrift{Halbmetriken}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung
\maabb {d} { M \times M } { \R
} {}
heißt \definitionswort {Halbmetrik}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y,z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ = }{ d { \left( y,x \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Symmetrie} {} {,}
und
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ \leq }{ d { \left( x,z \right) } + d { \left( z,y \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Dreiecksungleichung} {} {.}
}
}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { d(x,x)
}
{ \leq} { d(x,y) +d(y,x)
}
{ =} { 2d(x,y)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt dabei stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
diese \stichwort {Semipositivität} {} muss man also nicht eigens fordern.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Halbmetrik}{}{}
$d$. Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {offen}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U { \left( x,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
existiert.
}
{Raum mit Halbmetrik/Offene Menge/Topologie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine Menge, die mit einer
\definitionsverweis {Halbmetrik}{}{}
versehen sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 15.1. }
\inputfaktbeweis
{Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine Menge, die mit einer
\definitionsverweis {Halbmetrik}{}{}
$d$ versehen sei.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \sim }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ gegeben.
}{Die Halbmetrik induziert eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
auf der
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathl{M/\sim}{.}
}{Die Quotientenabbildung
\maabb {} {M} { M/\sim
} {}
ist
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
von $M$ sind genau die
\definitionsverweis {Urbilder}{}{}
der
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
des metrischen Raumes $M/\sim$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungvier{Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \sim }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \sim }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ = }{ 0
}
{ = }{ d(y,z)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
folgt aus der Dreiecksabschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,z)
}
{ \leq }{ d(x,y)+d(y,z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,z)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \sim }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Wir müssen zeigen, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{d} ([x],[y])
}
{ \defeq} { d(x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \sim }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \sim }{y'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,x')
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(y,y')
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist nach der Dreiecksabschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ \leq} { d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)
}
{ =} { d(x',y')
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x',y')
}
{ \leq }{ d(x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x',y')
}
{ = }{ d(x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was die Wohldefiniertheit von $\tilde{d}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von $d$ übertragen sich direkt auf $\tilde{d}$. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{d} ([x],[y])
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \sim }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x]
}
{ = }{ [y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M/\sim
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei $V$ das Urbild davon. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( [x], \epsilon \right) }
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $M/\sim$. Daraus folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( x, \epsilon \right) }
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da $U { \left( x, \epsilon \right) }$ das Urbild von $U { \left( [x], \epsilon \right) }$ ist.
}{Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in $M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.
}
Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen Räumen, die mit Halbmetriken versehen sind, kann man wie im metrischen Fall durch ein $\epsilon-\delta$-Kriterium ausdrücken, siehe
Aufgabe 15.4
und
Aufgabe 15.5.
\zwischenueberschrift{Vektorräume mit Halbnormen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\Vert {-} \Vert} {V} {\R
} {v} { \Vert {v} \Vert
} {,}
heißt
\definitionswort {Halbnorm}{,}
wenn die folgenden Eigenschaften für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {0} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Auf einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit einer
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{}
$\Vert {-} \Vert$ definiert man die
\definitionswort {zugehörige Halbmetrik}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(v,w)
}
{ \defeq} { \Vert {v-w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ heißt \definitionswort {topologischer Vektorraum}{,} wenn auf ihm eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} derart festgelegt ist, dass sowohl die Addition \maabbdisp {+} {V \times V} {V } {} als auch die Skalarmultiplikation \maabbdisp {\cdot} { {\mathbb K} \times V } {V } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/K/Halbnorm/Raum mit Halbmetrik/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Zu einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit einer
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{}
$\Vert {-} \Vert$ ist die
\definitionsverweis {zugehörige Halbmetrik}{}{}}
\faktfolgerung {in der Tat eine
\definitionsverweis {Halbmetrik}{}{.}}
\faktzusatz {Ein mit einer Halbnorm versehener ${\mathbb K}$-Vektorraum ist ein
\definitionsverweis {topologischer Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( u,v \right) }
}
{ = }{ \Vert {u-v} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d { \left( u,v \right) }
}
{ =} { \Vert {u-v} \Vert
}
{ =} { \Vert {-1(v-u)} \Vert
}
{ =} { \betrag { -1 } \cdot \Vert {v-u} \Vert
}
{ =} { d { \left( v,u \right) }
}
}
{}
{}{.}
}{Für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Definition einer Halbnorm
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d { \left( u,v \right) }
}
{ =} { \Vert {u-v} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {u-w} \Vert + \Vert {w-v} \Vert
}
{ =} { d { \left( u,w \right) } + d { \left( w,v \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
Zum Nachweis der Stetigkeit der Addition sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (u,v)
}
{ \in }{ V \times V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (u',v')
}
{ \in} { U { \left( u, { \frac{ \epsilon }{ 2 } } \right) } \times U { \left( v, { \frac{ \epsilon }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
hierbei ist die Produktmenge links eine offene Umgebung von $(u,v)$. Hier gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {u'+v'- (u+v)} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {u'- u} \Vert + \Vert {v'- v} \Vert
}
{ <} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } } + { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Zum Nachweis der Stetigkeit der Skalarmultiplikation sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (s,v)
}
{ \in }{ {\mathbb K} \times V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben, das wir als $\leq 1$ annehmen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \Vert {v} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { \operatorname{max} \left( D ,\, \betrag { s } \, ,1 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t,u)
}
{ \in }{ U { \left( s,{ \frac{ \epsilon }{ 4C } } \right) } \times U { \left( v, { \frac{ \epsilon }{ 4C } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {tu-sv} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {tu-su} \Vert + \Vert {su-sv} \Vert
}
{ =} { \betrag { t-s } \Vert {u} \Vert + \betrag { s } \Vert {u-v} \Vert
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 4 C } } { \left( C + { \frac{ \epsilon }{ 4C } } \right) } + C { \frac{ \epsilon }{ 4 C } }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 4 } } + { \frac{ \epsilon }{ 4 } } + { \frac{ \epsilon }{ 4 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ <} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{}
$\Vert {-} \Vert$. Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Menge der Vektoren
\mathl{{ \left\{ v \in V \mid \Vert {v} \Vert = 0 \right\} }}{} ist ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
$Z$ von $V$.
} {Die Halbnorm induziert auf dem
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
$V/Z$ eine
\definitionsverweis {Norm}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Folgt direkt aus der Verträglichkeit der Halbnorm mit der Skalarmultiplikation und aus der Dreiecksabschätzung.
} {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+z} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v } \Vert +\Vert {z} \Vert
}
{ =} { \Vert {v } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v+z } \Vert +\Vert {-z} \Vert
}
{ =} { \Vert {v+z } \Vert +\Vert {z} \Vert
}
{ =} { \Vert {v +z} \Vert
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} { \Vert {v +z} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Halbnorm induziert also eine wohldefinierte Abbildung auf dem Restklassenraum $V/Z$. Dabei bleiben alle Eigenschaften einer Halbnorm erhalten. Ferner gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert { [v ]} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [v]
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $V/Z$. Daher liegt eine Norm vor.
}
Die folgende Aussage charakterisiert stetige lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen, man könnte sie auch für lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen formulieren, die mit einer Halbnorm versehen sind. Für endlichdimensionale Vektorräume
\zusatzklammer {entscheidend ist der Ausgangsraum} {} {}
liegt nach
Satz 34.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
oder allgemeiner
Satz 52.17 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
stets Stetigkeit vor, die Aussage ist also für unendlichdimensionale Vektorräume relevant.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {normierte}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Eigenschaft äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
}{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Nullpunkt.
}{Die Menge
\mathdisp {{ \left\{ \varphi(v) \mid v\in V , \, \Vert {v} \Vert = 1 \right\} }} { }
ist
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es gibt insbesondere für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt dann wegen der skalaren Verträglichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ \delta } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Von (3) nach (1). Es sei $C$ eine obere Schranke für die Norm der Werte auf der Einssphäre. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d (\varphi(v), \varphi( w))
}
{ =} { \Vert { \varphi(v) - \varphi( w) } \Vert
}
{ =} { \Vert { \varphi(v - w) } \Vert
}
{ =} { \Vert { v-w } \Vert \cdot \Vert { \varphi { \left( { \frac{ (v - w) }{ \Vert { v-w } \Vert } } \right) } } \Vert
}
{ \leq} { \Vert { v-w } \Vert \cdot C
}
}
{}
{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta
}
{ \defeq} { \epsilon/C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wählen.
\zwischenueberschrift{Separable Räume}
{Metrischer Raum/Abzählbare Basis/Dichte Teilmenge/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt genau dann eine
\definitionsverweis {abzählbare Basis}{}{}
der Topologie, wenn er eine abzählbare
\definitionsverweis {dichte Teilmenge}{}{}
besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 15.13. }
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {normierter}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn seine Topologie eine \definitionsverweis {abzählbare Basis}{}{} besitzt.
}
\inputfaktbeweis
{Normierter Vektorraum/Separabel/Äquivalente Formulierungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Für einen
\definitionsverweis {normierten}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$V$ ist
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
}{ $V$ besitzt eine abzählbare
\definitionsverweis {dichte Teilmenge}{}{.}
}{ $V$ besitzt einen dichten
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
mit abzählbarer
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus
Lemma 15.13.
Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{}
$U$ eine abzählbare
\definitionsverweis {Basis}{}{}
und $U$ ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle v_n ,\, n \in \N \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dicht. Wir nehmen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an und behaupten, dass der $\Q$-Vektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \bigoplus_{n \in \N} \Q v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der nach
Lemma 10.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von $V$ ist. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ U { \left( Q,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}. Es gibt dann ein Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u
}
{ =} { \sum_{n \in E} a_n v_n
}
{ \in} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich mit $m$ Elementen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( Q, u \right) }
}
{ = }{ \delta
}
{ < }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $S$ eine obere Schranke für
\mathbed {\Vert {v_n} \Vert} {}
{n \in E} {}
{} {} {} {.}
Wenn man in $u$ die reellen Koeffizienten $a_n$ durch rationale Koeffizienten $b_n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { b_n -a_n }
}
{ <} { { \frac{ \epsilon- \delta }{ m S } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ersetzt, so erhält man das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{n \in E} b_nv_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
innerhalb von
\mathl{U { \left( Q,\epsilon \right) }}{.} Es ist ja
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { Q- \sum_{n \in E} b_nv_n} \Vert
}
{ \leq} { \Vert { Q- \sum_{n \in E} a_nv_n} \Vert + \Vert { \sum_{n \in E} b_nv_n - \sum_{n \in E} a_nv_n} \Vert
}
{ \leq} { \delta + \sum_{n \in E} \betrag { b_n-a_n } \Vert {v_n} \Vert
}
{ <} { \delta + \epsilon - \delta
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
Wenn ein dichter Untervektorraum mit abzählbarer Dimension vorliegt, so gibt es davon eine Basis der Form
\mathl{f_1,f_2, \ldots}{.} In vielen Beispielen, insbesondere, wenn ein separabler Hilbertraum vorliegt, lässt sich eine solche \anfuehrung{dichte Basis}{} des Gesamtraumes explizit angeben, siehe beispielsweise
Satz 23.6,
Satz 24.2
und
Satz 24.8.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {normierter}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit der \definitionsverweis {zugehörigen Metrik}{}{} ein \definitionsverweis {vollständiger}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} ist, heißt \definitionswort {Banachraum}{.}
}