Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Summierbarkeit}
Wir fragen uns, inwiefern man in einem normierten Vektorraum eine Vektorenfamilie zu einer unendlichen Indexmenge sinnvoll aufsummieren kann und schließen dabei an den Summierbarkeitsbegriff von komplexen Zahlen an. Die Familie sei als
\mathbed {v_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
gegeben. Für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_E
}
{ =} { \sum_{i \in E} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen $v_E$ Bezug nehmen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
$I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von Vektoren aus $V$. Diese Familie heißt \definitionswort {summierbar}{,} wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle endlichen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { v_E -w} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_E
}
{ = }{ \sum_{i \in E} v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im summierbaren Fall heißt $w$ die \definitionswort {Summe}{} der Familie.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
$I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von Vektoren aus $V$. Diese Familie heißt eine \definitionswort {Cauchy-Familie}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0 \cap D
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { v_D} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Banachraum}{}{,}
$I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von Vektoren aus $V$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{,}
wenn sie eine
\definitionsverweis {Cauchy-Familie}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst die Familie
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
mit der Summe $s$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Zu
\mathl{\epsilon/2}{} gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle endlichen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v_E-s} \Vert
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Für jede zu $E_0$
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
endliche Teilmenge $D$ gilt dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { v_D } \Vert
}
{ =} { \Vert { v_D +v_{E_0} -s -v_{E_0} +s } \Vert
}
{ \leq} { \Vert { v_D +v_{E_0} - s} \Vert + \Vert { v_{E_0} - s } \Vert
}
{ =} { \Vert { v_{E_0 \cup D} - s} \Vert + \Vert { v_{E_0} - s } \Vert
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mathbed {v_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Cauchy-Familie}{}{.}
Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n \cap D
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v_D} \Vert
}
{ \leq }{ 1/n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ \subseteq }{ E_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gilt. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} {v_{E_n}
}
{ =} { \sum_{i \in E_n} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{m
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { x_k-x_m } \Vert
}
{ =} { \Vert { \sum_{i \in E_k} v_i - \sum_{i \in E_m} v_i } \Vert
}
{ =} { \Vert { v_{E_k \setminus E_m} } \Vert
}
{ \leq} { 1/m
}
{ \leq} { 1/n
}
}
{}{}{,}
da die Menge
\mathl{E_k \setminus E_m}{} disjunkt zu $E_m$ ist. Daher ist
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
und somit wegen der
\definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{}
von $V$
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe $s$. Es sei dazu ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1/n
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x_n-s} \Vert
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jedes endliche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \supseteq }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mathbed {E= E_n \cup D} {mit}
{E_n \cap D = \emptyset} {}
{} {} {} {.}
Damit gelten die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { v_E -s } \Vert
}
{ =} { \Vert { v_{E_n} +v_D -s } \Vert
}
{ \leq} { \Vert { v_{E_n} -s } \Vert + \Vert { v_D } \Vert
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Abschluss/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
$I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
von Vektoren aus $V$ mit der Summe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gehört $w$ zum
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
des von den $v_i$
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraumes}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es folgt unmittelbar aus der Definition, dass es in jeder $\epsilon$-Umgebung von $w$ Elemente aus dem von den $v_i$ erzeugten Untervektorraum gibt.
{Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Teilfamilie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {v_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
in einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Banachraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe *****. }
\zwischenueberschrift{Kompakte Operatoren}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {relativ kompakt}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
$\overline{ T }$
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
zwischen
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
heißt
\definitionswort {kompakt}{,}
wenn für jede
\definitionsverweis {beschränkte Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{} $\varphi(T)$
\definitionsverweis {relativ kompakt}{}{}
in $N$ ist.
}
\inputfaktbeweis
{Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V,W$
\definitionsverweis {normierte}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
}{Das Bild der
\zusatzklammer {offenen oder abgeschlossenen} {} {}
\definitionsverweis {Einheitskugel}{}{}
von $V$ ist
\definitionsverweis {relativ kompakt}{}{}
in $W$.
}{Jede beschränkte Folge in $V$ besitzt eine Teilfolge, deren Bildfolge in $W$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge $T$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Lemma 17.3 ebenfalls kompakt, es gilt also (1).
Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in $V$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von $W$ und besitzt nach Lemma 17.4 \zusatzklammer {für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie} {} {} eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).
Es sei nun (3) erfüllt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschränkt. Es ist die Kompaktheit von $\varphi(T)$ zu zeigen. Es sei
\mathbed {w_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Folge in $\varphi(T)$. Es gibt dann eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_n
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( \varphi(v_n), w_n \right) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge $v_{n_k}$ derart, dass $\varphi(v_{n_k})$ gegen ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ \overline{ \varphi(T) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge $w_{n_k}$ gegen $w$.