Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
Zu einem
$\sigma$-\definitionsverweis {endlichen}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
$X$ und einer reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die
\definitionsverweis {Lebesgueräume}{}{}
$L^p(X)$ nach
dem Satz von Fischer-Riesz
\definitionsverweis {vollständige}{}{}
\definitionsverweis {normierte}{}{}
Vektorräume. Wir haben schon erwähnt, dass dabei $L^2(X)$ eine besondere Rolle spielt. Dies beruht darauf, dass man zu integrierbaren Funktionen
\maabbdisp {f,g} {X} { {\mathbb K}
} {}
das Integral $\int_X f \overline{ g } d \mu$ betrachten kann, das ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
definiert, dessen
\definitionsverweis {zugehörige Norm}{}{}
gerade die $L^2$-Norm ist
\zusatzklammer {siehe auch
Beispiel 32.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {.}
Diese zusätzliche Struktur erlaubt es, über Winkel, Orthogonalität, orthogonale Projektion etc. auch im Kontext von Funktionen zu sprechen. Der theoretische Rahmen wird durch das Konzept eines Hilbertraumes abgesteckt.
\zwischenueberschrift{Hilberträume}
\inputdefinition
{}
{
Ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,} der mit der \definitionsverweis {zugehörigen Metrik}{}{} ein \definitionsverweis {vollständiger}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} ist, heißt \definitionswort {Hilbertraum}{.}
}
Endlichdimensionale ${\mathbb K}$-Vektorräume mit einem Skalarprodukt sind vollständig nach Aufgabe 36.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), also Hilberträume. Der Begriff ist insbesondere für unendlichdimensionale Vektorräume relevant.
{Hilbertraum/Untervektorraum/Abgeschlossen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraumes}{}{}
$V$}
\faktfolgerung {ist genau dann ein Hilbertraum, wenn er
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $V$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.9. }
Wir halten die folgende Aussage über den Raum der quadratintegrierbaren Funktionen fest.
\inputfaktbeweis
{Maßraum/Quadratintegrierbar/Hilbertraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal A }, \mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Lebesgueraum}{}{}
$L^2(X)$ der
\definitionsverweis {quadratintegrierbaren}{}{}
Funktionen, versehen mit dem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle
}
{ \defeq} { \int_X f \overline{ g } d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein
\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir argumentieren zuerst auf der Ebene von ${\mathcal L}^2(X)$. Zu quadratintegrierbaren Funktionen $f,g$ zeigt
die Höldersche Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X f \overline{ g } d \mu
}
{ \leq} { \Vert {f} \Vert_2 \cdot \Vert {g} \Vert_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass das angegebene Integral endlich ist. Mit
Lemma 16.6
folgt, dass sein Wert unabhängig von den gewählten Repräsentanten sind und eine Funktion auf $L^2(X) \times L^2(X)$ definiert. Eigenschaften des Integrals wie
Satz 10.6
sichern, dass ein Skalarprodukt vorliegt. Die Vollständigkeit ergibt sich aus
dem Satz von Fischer-Riesz.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\N$ als
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Zählmaß}{}{,}
siehe
Beispiel 16.2
und
Beispiel 16.11.
Der zugehörige Raum der quadratsummierbaren Folgen besitzt das Skalarprodukt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle
}
{ =} { \sum_{n \in \N} f_n \overline{ g_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Norm eines Elementes ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ =} { \sqrt{ \sum_{n \in \N} \betrag { f_n }^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Hilbertraum wird mit $l_2$ oder mit $L^2(\N)$ bezeichnet, man spricht vom \stichwort {Hilbertschen Folgenraum} {.}
}
\zwischenueberschrift{Minimaler Abstand}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ heißt \definitionswort {konvex}{,} wenn mit je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
\mathdisp {rP+(1-r)Q \text{ mit } r \in [0,1]} { , }
ebenfalls zu $T$ gehört.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständige konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtleere
\definitionsverweis {konvexe}{}{}
\definitionsverweis {vollständige Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
indem die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
$\Vert {P} \Vert$
\zusatzklammer {unter allen Punkten aus $T$} {} {}
das
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
annimmt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $\delta$ das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \Vert {Q} \Vert \mid Q \in T \right\} }
}
{ \subseteq} { \R_{\geq 0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit Hilfe von
Aufgabe 32.25 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
erhält man für Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {P-Q} \Vert^2
}
{ =} { 2 \Vert {P} \Vert^2 + 2 \Vert {Q} \Vert^2 - 4 \Vert { { \frac{ P+Q }{ 2 } } } \Vert^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konvexität gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ P+Q }{ 2 } }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {P-Q} \Vert^2
}
{ \leq} { 2 \Vert {P} \Vert^2 + 2 \Vert {Q} \Vert^2 - 4 \delta^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien nun $P,Q$ Punkte, in denen das Infimum angenommen wird. Dann folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {P} \Vert
}
{ =} { \Vert {Q} \Vert
}
{ =} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {P-Q} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was die Eindeutigkeit bedeutet.
Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von $\R$ durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{\Vert {Q_n} \Vert}{} gegen $\delta$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder $Q_n,Q_m$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {Q_n-Q_m} \Vert^2
}
{ \leq} { 2 \Vert {Q_n} \Vert^2 + 2 \Vert {Q_m} \Vert^2 - 4 \delta^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{\Vert {Q_n} \Vert}{} gegen $\delta$ konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig klein wird. Dies bedeutet, dass $Q_n$ eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist. Wegen der Vollständigkeit von $T$ konvergiert die Folge gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {vollständiger Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen eindeutigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verschieben die Situation um $-Q$ und haben dann einen vollständigen \zusatzklammer {da die Verschiebung stetig ist} {} {} \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{} $U-Q$ und betrachten den Abstand zum Nullpunkt. Der Untervektorraum ist konvex und dies überträgt sich auf den verschobenen Untervektorraum. Daher folgt die Aussage aus Lemma 21.6.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {vollständiger Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { u+w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aus zwei solchen Darstellungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { u+w
}
{ =} { u'+w'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den geforderten Eigenschaften folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { u-u' +w-w'
}
{ =} { \tilde{u} + \tilde{w}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die beiden Summanden
\mathkor {} {\tilde{u}} {und} {\tilde{w} = - \tilde{u}} {}
orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie $0$ sind.
Zum Existenznachweis sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der gemäß
Korollar 21.7
eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von $v$ zu $U$ minimal wird. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { v-u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v-u , u' \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u'
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Nehmen wir an, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u'
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v-u , u' \right\rangle
}
{ =} { c
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei wir $c$, indem wir eventuell $u'$ durch $-u'$ ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ 2 \left\langle v-u , \lambda u' \right\rangle + \left\langle \lambda u' , \lambda u' \right\rangle
}
{ =} { 2 c \lambda + \lambda^2 \left\langle u' , u' \right\rangle
}
{ =} { \lambda { \left( 2 c + \lambda \left\langle u' , u' \right\rangle \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was für $\lambda$ positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v-u+ \lambda u' , v-u+ \lambda u' \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v-u , v-u \right\rangle + 2 \left\langle v-u , \lambda u' \right\rangle + \left\langle \lambda u' , \lambda u' \right\rangle
}
{ <} { \left\langle v-u , v-u \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
im Widerspruch dazu, dass der Abstand
\zusatzklammer {und damit das Abstandsquadrat} {} {}
von $v$ zu $U$ in $u$ minimal wird.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {vollständiger Untervektorraum}{}{.}
Die Abbildung
\maabb {p_U} {V} {U
} {,}
die jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus der
nach Korollar 21.8
eindeutigen Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ u+w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zuordnet, heißt
\definitionswort {orthogonale Projektion}{}
auf $U$.
}
Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle für abgeschlossene Teilmengen in einem Hilbertraum.
\inputfaktbeweis
{Hilbertraum/Abgeschlossene konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtleere
\definitionsverweis {konvexe}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in dem die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
$\Vert {P} \Vert$
\zusatzklammer {unter allen Punkten aus $T$} {} {}
das
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
annimmt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Lemma 21.6.
\inputfaktbeweis
{Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {abgeschlossener Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen eindeutigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Korollar 21.7.
\inputfaktbeweis
{Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {abgeschlossener Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { u+w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Korollar 21.8.
Insbesondere gibt es zu einem abgeschlossener Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Hilbertraum die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
\maabb {p_U} {V} {U
} {.}
\zwischenueberschrift{Topologische Eigenschaften}
\inputfaktbeweis
{Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {abgeschlossener Untervektorraum}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {orthogonalen Komplement}{}{}
$U^{ { \perp } }$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$U^{ { \perp } }$ ist ebenfalls abgeschlossen.
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { p_U(v) + p_{ U^{ { \perp } } } (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{$p_U$ ist linear und stetig.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungdrei{Siehe
Aufgabe 21.10.
}{Klar.
}{Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ p_U (a_1v_1+a_2v_2) + p_{ U^{ { \perp } } } (a_1v_1+a_2v_2)
}
{ =} { a_1v_1+a_2v_2
}
{ =} { a_1 p_U ( v_1 ) + a_1 p_{ U^{ { \perp } } } (v_1) + a_2 p_U ( v_2 ) + a_2 p_{ U^{ { \perp } } } (v_2)
}
{ =} { a_1 p_U ( v_1 ) + a_2 p_U ( v_2 ) + a_1 p_{ U^{ { \perp } } } (v_1) + a_2 p_{ U^{ { \perp } } } (v_2)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in $U$ und in $U^{ { \perp } }$.
Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {v} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { \left\langle p_U(v) + p_{ U^{ { \perp } } } (v) , p_U(v) + p_{ U^{ { \perp } } } (v) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle p_U(v) , p_U(v) \right\rangle + \left\langle p_{ U^{ { \perp } } } (v) , p_{ U^{ { \perp } } } (v) \right\rangle
}
{ =} { \Vert {p_U(v)} \Vert^2 + \Vert { p_{ U^{ { \perp } } } (v)} \Vert^2
}
}
{}
{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {p_U (v)} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus die Stetigkeit mit
Satz 15.12
folgt.
}
Die folgende Aussage besagt, dass eine stetige Linearform auf einem Hilbertraum einen Gradienten besitzt. Im endlichdimensionalen Fall, in dem die Stetigkeit automatische erfüllt ist, folgt dies auch aus
Lemma 47.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (3).
Für eine andere Formulierung dieses Sachverhaltes, den man den Darstellungssatz von Riesz nennt, siehe
Aufgabe 21.12.
\inputfaktbeweis
{Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige}{}{}
\definitionsverweis {Linearform}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} { \left\langle v , x \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei der Nullabbildung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu nehmen, sei also $\varphi$ nicht die Nullabbildung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(z)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass $\varphi(z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist $U$ ein abgeschlossener Untervektoraum von $V$. Das orthogonale Komplement $U^{ { \perp } }$ ist eindimensional: Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w,w'
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (w')
}
{ = }{ a \varphi(w)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w'-a w
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Orthogonalität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w'-aw
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { p_U(z)+y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_U(z)
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Korollar 21.9.
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(z)
}
{ = }{ \varphi(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ \defeq} { { \frac{ \varphi(y) }{ \Vert {y} \Vert^2 } } y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dies sichert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle x , x \right\rangle
}
{ =} { \left\langle { \frac{ \varphi(y) }{ \Vert {y} \Vert^2 } } y , { \frac{ \varphi(y) }{ \Vert {y} \Vert^2 } } y \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ \varphi(y)^2 }{ \Vert {y} \Vert^4 } } \left\langle y , y \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ \varphi(y) }{ \Vert {y} \Vert^2 } } \varphi(y)
}
{ =} { \varphi(x)
}
}
{}
{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der kanonischen Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { u+w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , x \right\rangle
}
{ =} { \left\langle u+w , x \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , x \right\rangle
}
{ =} { \left\langle ax , x \right\rangle
}
{ =} { a \left\langle x , x \right\rangle
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a \varphi(x)
}
{ =} { \varphi( w)
}
{ =} { \varphi (u+w)
}
{ =} { \varphi(v)
}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{L^2-Raum/Stetige Linearform/Gradientenrealisierung/Identifizierung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $( X, {\mathcal A } , \mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und $L^2(X)$ der zugehörige
\definitionsverweis {Lebesgueraum}{}{}
der quadratintegriebaren Funktionen. Es sei
\maabbdisp {\varphi} { L^2(X) } { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige}{}{}
\definitionsverweis {Linearform}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine quadratintegrierbare Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ L^2(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(f)
}
{ =} { \int_X f \overline{ g } d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 21.3 und aus Lemma 21.14.
\inputfaktbeweis
{Hilbertraum/Teilmenge/Dichtheitskriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
$T$ genau dann einen
\definitionsverweis {dichten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
in $V$, wenn die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es erzeuge zuerst $T$ einen dichten Untervektorraum $U$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Dichtheit von $U$ gibt es eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_n
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $v$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w_n \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es erzeuge nun $T$ einen Untervektorraum $U$, der nicht dicht sei, es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ =} { \overline{ U }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ V \setminus W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ y+v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zerlegung im Sinne von
Korollar 21.9
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ W^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus $W$.