Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Integralkerne}
Es seien
\mathkor {} {( M, \mu)} {und} {(N, \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Maßräume}{}{}
mit dem Produktraum
\mathl{M \times N}{.} Es sei
\maabbdisp {K} { M \times N } { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{,}
die in diesem Zusammenhang ein \stichwort {Integralkern} {} oder kurz \stichwort {Kern} {} heißt.
Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf $M$ in messbare ${\mathbb K}$-wertige Funktionen auf $N$ transformieren, indem man die transformierte Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(f)
}
{ = }{ T_K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (T(f)) (y)
}
{ =} { \int_M K(x,y) f(x) d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {K} { [a,b] \times [a,b] } { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Einer stetigen Funktion
\maabb {f} { [a,b]} { \R
} {}
wird die mittels $K$ transformierte Funktion $T(f)$ zugeordnet,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( T(f))(y)
}
{ =} { \int_a^b K(x,y) f(x) dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen $t$ und einer Frequenzvariablen $u$, aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. Wir erwähnen einige typische Integralztransformationen.
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ Integralkern }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ Integrationsgebiet }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ Typischer Ausdruck $(Tf)(u)$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ Transformation }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ Fourier }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ Laplace }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ Mellin }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } e^{ - { \mathrm i} \left\langle u , t \right\rangle } }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \R^n }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } \int_{\R^n} e^{ -{ \mathrm i} \left\langle u , t \right\rangle } f(t) dt }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ e^{-ut} }
\renewcommand{\azweixzwei}{ \R_+ }
\renewcommand{\azweixdrei}{ \int_0^\infty e^{-ut} f(t) dt }
\renewcommand{\azweixvier}{ }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ t^{u-1} }
\renewcommand{\adreixzwei}{ \R_+ }
\renewcommand{\adreixdrei}{ \int_{0 }^\infty t^{u-1} f(t) dt }
\renewcommand{\adreixvier}{ }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ }
\renewcommand{\avierxzwei}{ }
\renewcommand{\avierxdrei}{ }
\renewcommand{\avierxvier}{ }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitdreixdrei
Die Mellin-Transformation kommt beispielsweise bei der Definition der $\Gamma$-Funktion vor, es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (u)
}
{ =} { \operatorname{Fak} \, (u-1) \defeq \int_{ 0 }^{ \infty } t^{u-1} e^{-t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hier ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ = }{ e^{-t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {integrierbaren Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R^n} { {\mathbb C}
} {}
nennt man die Funktion
\maabbdisp {\hat{f}} { \R^n } { {\mathbb C}
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{f} ( {\mathfrak u} )
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } \int_{\R^n} e^{ -{ \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } f({\mathfrak t}) d {\mathfrak t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist, die
\definitionswort {Fourier-Transformation}{}
von $f$.
}
Hier ist also $e^{- { \mathrm i} \left\langle u , t \right\rangle }$ der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation.
\inputfaktbeweis
{Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $( M, \mu)$ ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
mit dem Produktraum
\mathl{M \times M}{} und sei
\maabbdisp {K} { M \times M } { {\mathbb K}
} {}
ein
\definitionsverweis {beschränkter}{}{}
\definitionsverweis {messbarer Integralkern}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die zugehörige Transformation
\maabbeledisp {T_K} {L^2(M)} { L^2(M)
} {f} { T_K(f)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( T_K(f) ) (u)
}
{ =} { \int_M K (u,t) f(t) d \mu (t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetiger}{}{}
\definitionsverweis {linearer Operator}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K(u,t)
}
{ \leq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Schranke. Die Funktion $K(u,t) f(t)$ ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, so dass das Integral existiert. Dabei gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{( T (c_1f_1 +c_2f_2) )(u)
}
{ =} { \int_M K (u,t) { \left( c_1f_1 (t) +c_2f_2 (t) \right) } d \mu (t)
}
{ =} { c_1 \int_M K (u,t) f_1 (t) d \mu (t) + c_2 \int_M K (u,t) { \left( f_2 (t) \right) } d \mu (t)
}
{ =} { c_1 ( T(f_1 ) )(u)+ c_2 ( T(f_2) )(u)
}
{ =} { (c_1 ( T(f_1 ) )+ c_2 ( T(f_2) ) ) (u)
}
}
{}
{}{}
nach
Satz 10.6.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { T(f) } \Vert^2
}
{ =} { \int_M \betrag { T(f) (u) }^2 d \mu (u)
}
{ =} { \int_M \betrag { \int_M K(u,t) f(t) d \mu (t) }^2 d \mu (u)
}
{ \leq} { \int_M { \left( \int_M \betrag { K(u,t) f(t) } d \mu (t) \right) }^2 d \mu (u)
}
{ \leq} { S^2\int_M { \left( \int_M \betrag { f(t) } d \mu (t) \right) }^2 d \mu (u)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { S^2 \int_M { \left( \mu(M) \int_M \betrag { f(t) }^2 d \mu(t) \right) } d \mu (u)
}
{ =} { S^2 \cdot \mu(M)^2 \cdot \Vert { f } \Vert^2
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Zitat.
\inputfaktbeweis
{Kompakter metrischer Raum/Stetiger Integralkern/Kompakter Operator/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {endlichen}{}{}
\definitionsverweis {Maß}{}{}
$\mu$ auf $M$. Es sei
\maabbdisp {K} { M \times M } { {\mathbb K}
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger}{}{}
\definitionsverweis {Integralkern}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die zugehörige Transformation
\maabbeledisp {T_K} {L^2(M)} { L^2(M)
} {f} { T_K(f)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( T_K(f) ) (u)
}
{ =} { \int_M K (u,t) f(t) d \mu (t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {kompakter Operator}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein stetiger linearer Operator liegt nach Lemma 25.3 vor.