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Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 75/latex

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\setcounter{section}{75}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Annulus.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Annulus.svg } {} {Nandhp} {Commons} {PD} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Flächeninhalt eines \definitionsverweis {Annulus}{}{} gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {,} \definitionsverweis {flächentreu}{}{} ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{,} es sei \maabbdisp {g} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {messbare}{}{} \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{} und sei $g\mu$ das Maß zur \definitionsverweis {Dichte}{}{} $g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion \maabbdisp {f} {M} {\R } {} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d (g \mu) }
{ =} { \int_{ M } fg \, d \mu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es seien
\mathbed {(M, {\mathcal A }, \mu)} {und}
{(N, {\mathcal B }, \nu)} {}
{} {} {} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Maßräume}{}{,} und es seien \maabbdisp {g} {M} {\R } {} und \maabbdisp {h} {N} {\R } {} \definitionsverweis {messbare}{}{} \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{} mit den zu diesen \definitionsverweis {Dichten}{}{} gehörigen Maßen \mathkor {} {g \mu} {und} {h \nu} {.} Zeige, dass auf
\mathl{M \times N}{} das \definitionsverweis {Produktmaß}{}{}
\mathl{(g \mu) \otimes (h \nu)}{} mit dem Maß zur Dichte \maabbeledisp {gh} {M \times N} {\R } {(x,y)} { g(x)h(y) } {,} bezüglich
\mathl{\mu \otimes \nu}{} übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Wert des Quadrats
\mathl{{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \betrag { x }, \betrag { y } \leq 1 \right\} }}{} für das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\mu= \varphi_*\lambda^2}{} unter der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y,xy) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{7 (3+2+2)}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,10]} {\R } {x} {x^2 } {,} und interessieren uns für die Straße der Breite $1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge $1$ \zusatzklammer {mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen} {} {} untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine \zusatzklammer {möglichst einfache} {} {} Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.

}
{} {}


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