Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/36/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	4	6	3	4	2	6	4	4	3	3	5	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die komplexe Konjugation.
3. Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.
4. Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
5. Der Arkussinus.
6. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ${}m$ Gleichungen in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.
2. Die Regel von l'Hospital.
3. Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).

Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir betrachten die Wertetabelle

${}i$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}a_{i}$	${}2$	${}5$	${}4$	${}-1$	${}3$	${}5$	${}-2$	${}2$

1. Berechne ${}a_{2}+a_{5}$.
2. Berechne ${}\sum _{k=3}^{6}a_{k}$.
3. Berechne ${}\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}$.
4. Berechne ${}\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise

${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${}T$ ein Teiler von ${}P$. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${}X-a$ in ${}T$ durch seine Vielfachheit in ${}P$ beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr ${}7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie ${}7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\,a\neq 0,$

ein reelles Polynom vom Grad ${}2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Definiere die Funktion

   $[-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

   deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$ ist.

2. Bestimme das Taylorpolynom vom Grad ${}3$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}0$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über ${}\mathbb {Q}$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

   $\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$

   mit ${}0\leq d<q$ linear unabhängig sind.

2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

   $\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$

   mit ${}0\leq b<q$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Aussage: Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist

${}\lambda =d_{n}\,.$

Beweis: Es sei

${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,$

ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert ${}\lambda$. Dies bedeutet die Gleichheit

${}{\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung

${}d_{n}x_{n}=\lambda x_{n}\,.$

Da ${}x$ als Eigenvektor von ${}0$ verschiedenen sein muss, kann man durch ${}x_{n}$ dividieren und erhält ${}d_{n}=\lambda$. “

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}.$