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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/45/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleeinundzwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}

}{Eine reelle \stichwort {Intervallschachtelung} {.}

}{Eine \stichwort {Treppenfunktion} {} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}

}{Die \stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}

}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}

}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die geometrische Reihe.}{Die \stichwort {Taylor-Formel} {} für eine
\mathl{(n+1)}{-}mal \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem reellen Intervall $I \subseteq \R$ für einen inneren Punkt
\mathl{a \in I}{.}}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch \anfuehrung{Extremfälle}{} berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme
\mathdisp {{ \left( { \left( { \left( { \left( { \left( { \frac{ 3 }{ 7 } } \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\prod_{k = 2}^n { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durch vollständige Induktion \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{

\aufzaehlungvier{Es sei $H$ die Menge aller \zusatzklammer {lebenden oder verstorbenen} {} {} Menschen. Untersuche die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {H} {H } {,} die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. }{Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung $\varphi^3$? }{Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge $E$ aller Einzelkinder und auf die Menge $M$ aller Mütter einschränkt? }{Seien Sie spitzfindig \zusatzklammer {evolutionsbiologisch oder religiös} {} {} und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Unterteile die Strecke von
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 7 } }}{} nach
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{} rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Der Energiebedarf \zusatzklammer {durch Nahrung} {} {} eines Menschen beträgt pro Tag etwa
\mathl{12.000 \, kJ}{} \zusatzklammer {Kilojoule} {} {.} Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa $3 kWh$ pro $m^2$ \zusatzklammer {$3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter} {} {.} Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $n$ verschiedene Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 , \ldots , a_n }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_1 , \ldots , b_n }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom $Q$ vom Grad $n$ gibt, das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(a_i) }
{ = }{b_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $i$ erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=0}^{\infty} { \frac{ 4n-9 }{ 2n^3-5n^2-6n+2 } }} { }
auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von $17$ ist?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} keine Exponentialfunktion sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu \zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.} \aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}




}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^x} {,} die Extrema.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2-3x-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme den Flächeninhalt des durch die $x$-Achse und den Graphen von $f$ eingeschränkten Gebietes.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {- 5 x - { \frac{ 1 }{ 3 } } y = 1 \text{ und } - 7 x+ { \frac{ 1 }{ 2 } }y = { \frac{ 2 }{ 3 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} zwischen den $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Es seien \mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {} \definitionsverweis {Basen}{}{} von $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } }
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} stehen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -5 & -1 & 0 \\0 & 0 & 11 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} und ob sie \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}