Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 18
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus
Aufgabe *
Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.
Aufgabe
Aufgabe *
Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten
gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.
Aufgabe
Bestimme die Determinanten von ebenen und von räumlichen Drehungen.
Aufgabe *
Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.
Aufgabe
Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.
Aufgabe *
Aufgabe
Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.
Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.
Aufgabe
Es sei
eine periodische Funktion und
eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.
Aufgabe
Es sei eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass in der Potenzreihe des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten für ungerades gleich sind.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
die Drehung des Raumes um die -Achse um Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis
aus?
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise das Additionstheorem
für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien
periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien komplexe Zahlen in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft
gibt.
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