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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 50/latex

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\setcounter{section}{50}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}}{} ein \definitionsverweis {Monom}{}{} und es sei
\mathl{D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n}}{} eine Hintereinanderschaltung von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_i }
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j }
{ > }{ r_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein $j$ ist. } {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } }
{ =} { { \frac{ r_1! \cdots r_n! }{ (r_1-s_1) ! \cdots (r_n-s_n)! } } X_1^{r_1-s_1} \cdots X_n^{r_n-s_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j }
{ \leq }{ r_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $j$ ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}}{} ein \definitionsverweis {Monom}{}{} und es sei
\mathl{D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n}}{} eine Hintereinanderschaltung von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_i }
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } \left( 0 , \, \ldots , \, 0 \right) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j }
{ \neq }{ r_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein $j$ ist. } {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{r_1} \cdots D_n^{r_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } \left( 0 , \, \ldots , \, 0 \right) }
{ =} { r_1! \cdots r_n! }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige Satz 50.1 für
\mathl{f(x,y)=x^ay^b}{} in
\mathl{(0,0)}{} und
\mathl{v=(2,3)}{} bis zur dritten Ableitung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^2} {\R } {(x,y)} {x^2 -y \cdot \sin x } {,}

im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}

}
{} {}





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = e^{x-y^2} } {,} im Punkt
\mathl{(1,1)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {f(x,y,z) = e^{x } yz^2 -xy } {,} im Punkt
\mathl{(1,0,-1)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = e^{ \sin x - \cos y } } {,} im Punkt
\mathl{\left( 0 , \, { \frac{ \pi }{ 2 } } \right)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Notiere das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} für eine \zusatzklammer {hinreichend oft \definitionsverweis {differenzierbare}{}{}} {} {} Funktion in \mathkor {} {2} {oder} {3} {} Variablen für die Grade
\mathl{k=1,2,3}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vierter Ordnung der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = x \sin y - e^{ xy } } {,} im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {x^2y-3xy+5y^2+4x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $3$ im Punkt
\mathl{P=(1,-2)}{} algebraisch \zusatzklammer {d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen
\mathl{u=x-1,v=y+2}{} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab} {} {} und über Ableitungen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} in $n$ Variablen vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass $f$ mit dem \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad
\mathl{\leq k}{} von $f$ im Nullpunkt übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}}{} ein \definitionsverweis {Monom}{}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \, r \, } }
{ = }{ \sum_{j = 1}^n r_j }
{ > }{k }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n} }{ \Vert {x} \Vert^k } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien \maabbdisp {f,g} {G} {\R } {} zwei zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.} Zeige durch ein Beispiel, dass das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} zum Produkt $fg$ im Punkt $P$ vom Grad $\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von \mathkor {} {f} {und} {g} {} in
\mathl{P}{} vom Grad $\leq 1$ sein muss.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbdisp {R} {G} {\R} {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, falls für eine Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und alle $v$ in einer \definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{} von $0$ die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {R(v)} \Vert }
{ \leq }{ c \Vert {v} \Vert^{k+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, \tfrac{ \Vert {R(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.

Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, \tfrac{ \Vert {R(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Allgemeinen nicht die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {R(v)} \Vert }
{ \leq }{ c \Vert {v} \Vert^{k+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestätige Satz 50.1 anhand des folgenden Beispiels. \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x^2y^3- \cos \left( x-y^2 \right) } {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(1,-3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{(5,-2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^3} {\R } {(x,y,z)} {z \cdot \exp (xy) } {,}

im Nullpunkt
\mathl{(0,0,0)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {-2xy^3-5x^2y^2+4xy^2-7y+3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $3$ im Punkt
\mathl{P=(-3,4)}{} algebraisch \zusatzklammer {d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen
\mathl{u=x+3,v=y-4}{} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab} {} {} und über Ableitungen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien \maabbdisp {f,g} {G} {\R } {} zwei $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{} mit den \definitionsverweis {Taylor-Polynomen}{}{} \mathkor {} {T_k(f)} {und} {T_k(g)} {} in $P$ vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist, und dass für das Taylor-Polynom
\mathl{T_k(fg)}{} von $fg$ in $P$ vom Grad $\leq k$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_k(fg) }
{ =} { ( T_k(f) \cdot T_k(g) )_{\leq k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht, wobei der Subskript
\mathl{{\leq k}}{} bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad $k$ genommen wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R} {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es maximal ein Polynom
\mathl{p(x_1 , \ldots , x_n)}{} vom Grad $\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {f(x)-p(x)} \Vert }{ \Vert {x} \Vert^k } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}