Das beschränkte Gebiet habe eine reguläre -Kurve als Berandung, deren Krümmung für alle erfüllt. Weiter sei richtig.
Auf dem Kreiszylinder
erklären wir die mittlere Krümmung
mit den folgenden Eigenschaften:
- Es gibt ein und ein , so dass die folgende Bedingung erfüllt ist:
(1)
für alle
mit
.
(2)
für alle
.
(3)
für alle
.
- Zu stetiger Höhendarstellung betrachten wir eine Lösung des Dirichletproblems der nichtparametrischen Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung
(4)
in
- und
(5)
für alle .
- Wir setzen noch
- Eine nicht konstante Lösung des Systems
- nennen wir eine -Fläche. Diese heißt verzweigungspunktfrei, falls
für alle
- richtig ist.
Satz 1 (Graphenkompaktheit)[Bearbeiten]
- Unter den Voraussetzungen D1 und D2 seien die Randverteilungen für gegeben, zu denen jeweils eine Lösung existiere. Ferner konvergiere die Folge gleichmäßig auf gegen
- Dann hat auch eine Lösung .
1. Wie in
(6)
diffeomorph,
und
(7)
führen wir mittels der uniformisierenden Abbildungen in die Graphen konforme Parameter ein und erhalten die verzweigungspunktfreien -Flächen
(8)
Diese Folge hat ein gleichmäßig beschränktes Dirichletintegral. Mit dem Courant-Lebesgue-Lemma in Verbindung mit dem geometrischen Maximumprinzip von E. Heinz zeigt man, dass die Funktionenfolge gleichgradig stetig in ist. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli können wir eine auf gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen, die wegen §2 Satz 2 gegen eine -Fläche
(9)
konvergiert.
2. Da konform parametrisiert ist, können wir die dritte Komponente eliminieren, d. h.
(10)
in
für
.
Wir erhalten dann die Folge ebener Abbildungen
(11)
mit Konstanten und dem Dirichletintegral von . Nach der Verzerrungsabschätzung von E. Heinz aus §5 gibt es für jedes ein , so dass in die Ungleichung
(12)
für alle
erfüllt ist. Hierbei haben wir im Beweis von Satz 2 aus §5 das Bildgebiet durch zu ersetzen. Wegen (12) finden wir für die Grenzabbildung
(13)
in
und die -Fläche aus (9) ist verzweigungspunktfrei.
3. Für die Normale an betrachten wir die Hilfsfunktion
(14)
mit . Setzen wir
so gilt zusammen mit (2) die Differentialungleichung
(15)
in
.
Multiplikation mit einer negativen Testfunktion liefert nach Integration die schwache Differentialungleichung
(16)
für alle
mit
in
.
Da der Beweis der Moserschen Ungleichung auch für Lösungen solcher Differentialungleichungen gültig bleibt, haben wir für die Funktion das Prinzip der eindeutigen Fortsetzung zur Verfügung. Danach muss auf verschwinden, insofern auch nur eine Nullstelle in auftritt. Da aber in offenbar ausgeschlossen ist, folgt
für alle
und schließlich
(17)
in
.
Somit ist ein Diffeomorphismus der Klasse , wenn wir noch folgendes beachten: Die Randabbildung ist zunächst schwach monoton, kann aber keine Konstanzintervalle aufweisen. Sonst würde mit Hilfe der Konformitätsrelationen und dem Ähnlichkeitsprinzip leicht in hergeleitet, was natürlich unmöglich ist. Mit
erhalten wir schließlich eine Lösung von .
q.e.d.
Satz 2 (Graphenregularität)[Bearbeiten]
- Sei eine Lösung zur Randverteilung unter den Voraussetzungen D1 und D2. Dann folgt .
Wir betrachten wieder die -Fläche der Regularitätsklasse . Dann folgt . Über die Jacobische der uniformisierenden Abbildung wissen wir bereits
in
und wir wollen nun diese Ungleichung auch auf nachweisen. Sei beliebig gewählt und erklärt. Dann können wir durch eine Verschiebung des Gebietes erreichen, dass erfüllt ist. Nach dem Hopfschen Randpunktlemma haben wir in Polarkoordinaten für die Hilfsfunktion die Ungleichung
(18)
Da in das Maximum annimmt, folgt
(19)
In (18) lesen wir ab, dass kein Verzweigungspunkt ist,
(20)
Ferner gibt es ein , so dass
Aus (19) und (20) folgt
(21)
bzw.
(22)
Benutzen wir nun, dass die Abbildung positiv orientiert ist, so finden wir wegen (19) ein mit
Es folgt
bzw.
Also ist ein -Diffeomorphismus und die Funktion <math\zeta(x, y) := z\left( f^{-1}(x, y) \right), (x, y) \in \overline{\Omega}</math> gehört zur Klasse .
Satz 3 (Quasilineares Dirichletproblem)[Bearbeiten]
- Unter den Voraussetzungen D1 und D2 hat für alle Randwerte das Dirichletproblem für die nicht parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung genau eine Lösung.
Wegen der Bedingung (1) können wir einen sphärischen Graphen der mittleren Krümmung finden, so dass die Differentialgleichung (4) zu den Randwerten
erfüllt wird. Zu der Familie von Randwerten
(23)
mit und lösen wir das Problem . Für ist das bereits erfolgt und die Lösbarkeit ist eine offene und nach Satz 1 eine abgeschlossene Eigenschaft. Folglich ist für alle lösbar und insbesondere hat eine Lösung . Mit Satz 1 sehen wir dann sofort die Lösbarkeit des Dirichletproblems auch für stetige Randwerte ein. Die Eindeutigkeit wurde bereits in §2 von Kapitel VI gezeigt.
q.e.d.