Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

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Inhaltsverzeichnis

1 §1 Die Fundamentalformen und Krümmungen einer Fläche
2 §2 Zweidimensionale parametrische Integrale
- 2.1 Satz 1 (Rellich)
- 2.2 Satz 2 (Lagrange-Gauß)
3 §3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter)
- 3.1 Satz 1 (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen)
- 3.2 Satz 2 (Hyperbolische Normalform für quasilineare Differentialgleichungen)
  - 3.2.1 Beweis
4 §4 Das Cauchysche Anfangswertproblem für quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung
5 §5 Die Riemannsche Integrationsmethode
- 5.1 Definition 1
- 5.2 Satz 1 (Riemannsche Integrationsmethode)
6 §6 Das Bernsteinsche Analytizitätstheorem
- 6.1 Satz 1 (Analytizitätstheorem von S. Bernstein)
  - 6.1.1 Beweis

[Bearbeiten] §1 Die Fundamentalformen und Krümmungen einer Fläche

[Bearbeiten] Satz 1 (Eulersche Formel für die Normalkrümmung)

Die Normalkrümmung der Fläche in Richtung $\mathfrak{y} = \cos \vartheta \mathfrak{e}_1(u, v) + \sin \vartheta \mathfrak{e}_2(u, v)$ wird gegeben durch

(1) $Q(\mathfrak{y}) = \kappa_1(u, v) \cos^2 \vartheta + \kappa_2(u, v) \sin^2 \vartheta.$

Ist $\kappa_1(u, v) \le \kappa_2(u, v)$ erfüllt, so wird die Normalkrümmung in Richtung $\mathfrak{e}_1(u, v)$ minimiert und in Richtung $\mathfrak{e}_2(u, v)$ maximiert.

[Bearbeiten] Definition 1

Einen Punkt $\mathfrak{x}(u, v)$ der Fläche $\mathfrak{x}$ nennen wir Nabelpunkt, falls $κ 1 (u, v) = κ 2 (u, v)$ erfüllt ist.

[Bearbeiten] Definition 2

Wir erklären die Gaußsche Krümmung der Fläche als

(2) $K(u, v) := \kappa_1(u, v) \kappa_2(u, v) = \det W(u, v), \quad (u, v) \in \Omega.$

Unter der mittleren Krümmung verstehen wir

(3) $H(u, v) := \frac{1}{2} (\kappa_1(u, v) + \kappa_2(u, v)) = \frac{1}{2} SpW(u, v), \quad (u, v) \in \Omega.$

[Bearbeiten] §2 Zweidimensionale parametrische Integrale

[Bearbeiten] Satz 1 (Rellich)

Eine gemäß

(1) $\mathfrak{x}_u \cdot \mathfrak{x}_v = 0 = |\mathfrak{x}_u|^2 + |\mathfrak{x}_v|^2$ in $Ω$

konform parametrisierte Fläche $\mathfrak{x} = \mathfrak{x}(u, v): \Omega \to \mathbb{R}^3$ hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung $H = H(\mathfrak{x})$ , wenn sie dem $H$ -Flächensystem

(2) $\Delta \mathfrak{x}(u, v) = 2H(\mathfrak{x}) \mathfrak{x}_u \wedge \mathfrak{x}_v$

genügt.

[Bearbeiten] Satz 2 (Lagrange-Gauß)

Der Graph $z = \zeta(x, y), (x, y) \in \Omega$ hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung $H = H (x, y, z)$ , wenn $ζ$ die nicht parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung

(3) $\mathcal{M}\zeta := (1 + \zeta_y^2) \zeta_{xx} - 2 \zeta_x \zeta_y \zeta_{xy} + (1 + \zeta_x^2) \zeta_{yy} = 2H(\mathfrak{x}) \sqrt{1 + |\nabla \zeta(x, y)|^2}^3$ in $Ω$

erfüllt.

[Bearbeiten] §3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter)

[Bearbeiten] Satz 1 (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen)

Für die hyperbolische Differentialgleichung

(1) $0 = a(x, y) \zeta_{xx}(x, y) + 2 b(x, y) \zeta_{xy}(x, y) + c(x, y) \zeta_{yy}(x, y) + d(x, y, \zeta(x, y), \nabla \zeta(x, y))$ in $Ω$

mit

(2) $a (x, y) c (x, y) - b (x, y) 2 < 0$ in $Ω$

gibt es eine Variablentransformation

$\xi = \xi(x, y), \eta = \eta(x, y) \in C^2(\mathcal{U}(x_0, y_0)),$

$\xi_0 = \xi(x_0, y_0), \quad \eta_0 = \eta(x_0, y_0), \quad \frac{\partial (\xi, \eta)}{\partial (x, y)} \neq 0$ in $\mathcal{U}(x_0, y_0)$

mit der Umkehrabbildung $x = x(\xi, \eta), y = y(\xi, \eta) \in C^2(\mathcal{U}(\xi_0, \eta_0))$

mit

$Q (ξ) = 0 = Q (η)$ in $\mathcal{U}(x_0, y_0)$ .

Die Differentialgleichung erscheint dann in der hyperbolischen Normalform

(3) $z_{\xi\eta}(\xi, \eta) = - \left. \left\{ \frac{1}{B(x, y)} D(x, y, z, p, q) \right\} \right|_{x = x(\xi, \eta)\atop y = y(\xi, \eta)}$

und die Parametertransformation $x = x (ξ,η), y = y (ξ,η)$ genügt dem System

(4) $y_\xi - \lambda^+ x_\xi = 0, \quad y_\eta - \lambda^- x_\eta = 0$

erster Ordnung.

[Bearbeiten] Satz 2 (Hyperbolische Normalform für quasilineare Differentialgleichungen)

Die quasilineare Differentialgleichung

(5) $\begin{matrix} \mathcal{L} \zeta(x, y) & := & a(x, y, \zeta(x, y) \nabla \zeta(x, y)) \zeta_{xx}(x, y) + 2b(\ldots) \zeta_{xy}(x, y) + c(\ldots) \zeta_{yy}(x, y) \\ & & + d(x, y, \zeta(x, y) \nabla \zeta(x, y)) = 0\quad in\ \Omega, \end{matrix}$

welche gemäß

$a (x, y) c (x, y) - b (x, y) 2 < 0$ in $Ω$

hyperbolisch bezüglich ihrer Lösung $z = ζ(x, y)$ ist, kann durch die lokale Parametertransformation auf die charakteristischen Parameter äquivalent überführt werden in das System erster Ordnung

(6) $y_\xi - \lambda^+ x_\xi = 0, \quad y_\eta - \lambda^- x_\eta = 0$

(6) $p_\xi + \lambda^- q_\xi + \frac{d}{a} x_\xi = 0, \quad p_\eta + \lambda^+ q_\eta + \frac{d}{a} x_\eta = 0$

(6)

z ξ - p x ξ - q y ξ = 0.

Für die Funktion $\mathfrak{y}(\xi, \eta) := (x(\xi, \eta), y(\xi, \eta), z(\xi, \eta), p(\xi, \eta), q(\xi, \eta))$ ergibt sich ein hyperbolisches System zweiter Ordnung

(7) $\mathfrak{y}_{\xi\eta}(\xi, \eta) = \mathfrak{h}_{\xi\eta}(\xi, \eta, \mathfrak{y}(\xi, \eta), \mathfrak{y}_\xi(\xi, \eta), \mathfrak{y}_\eta(\xi, \eta)),$

wobei die rechte Seite quadratisch in den ersten Ableitungen $x_\xi, y_\xi, \ldots, p_\eta, q_\eta$ ist.

[Bearbeiten] Beweis

1. Ausgehend von einer Lösung (6) wollen wir die Gültigkeit der Differentialgleichung (1) zeigen. Zunächst liefern die ersten beiden Gleichungen aus (6) wegen

$\begin{pmatrix} x_\xi & x_\eta \\ y_\xi & y_\eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_x & \xi_y \\ \eta_x & \eta_y \end{pmatrix}^{- 1} = \frac{\partial (x, y)}{\partial (\xi, \eta)} \begin{pmatrix} \eta_y & -\xi_y \\ -\eta_x & \xi_x \end{pmatrix}$

die Beziehungen

$\eta_x + \lambda^+ \eta_y = 0, \quad \xi_x + \lambda^- \xi_y = 0.$

Somit folgt

$z_{xx} = p_x = p_\xi \xi_x + p_\eta \eta_x = - \left( \lambda^- q_\xi + \frac{d}{a} x_\xi \right) \xi_x - \left( \lambda^+ q_\eta + \frac{d}{a} x_\eta \right) \eta_x$

$= - (\lambda^+ + \lambda^-) (q_\xi \xi_x + q_\eta \eta_x) - \lambda^+ \lambda^- (q_\xi \xi_y + q_\eta \eta_y) - \frac{d}{a} = - \frac{2b}{a} z_{yx} - \frac{c}{a} z_{yy} - \frac{d}{a},$

woraus sich $a z x x + 2 b z x y + c z y y + d = 0$ ergibt.

2. Differenzieren wir alle Gleichungen von (6), in denen nur $ξ$ -Ableitungen vorkommen, nach $η$ und umgekehrt, so erhalten wir

(8) $- \lambda^+ x_{\xi\eta} + y_{\xi\eta} = \ldots$

(8) $- \lambda^- x_{\xi\eta} + y_{\xi\eta} = \ldots$

(8) $\frac{d}{a} x_{\xi\eta} + p_{\xi\eta} + \lambda^- q_{\xi\eta} = \ldots$

(8) $\frac{d}{a} x_{\xi\eta} + p_{\xi\eta} + \lambda^+ q_{\xi\eta} = \ldots$

(8) $- px_{\xi\eta} - qy_{\xi\eta} + z_{\xi\eta} = \ldots$

Auf der rechten Seite stehen nur quadratische Terme in den ersten Ableitungen von $x, y, z, p, q$ . Wir fassen (8) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $x ξη, y ξη, z ξη, p ξη, q ξη$ auf. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist nicht singulär wegen

(9) $\begin{vmatrix} - \lambda^+ & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \lambda^- & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{d}{a} & 0 & 0 & 1 & \lambda^- \\ \frac{d}{a} & 0 & 0 & 1 & \lambda^+ \\ - p & - q & 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = - 4 \frac{b^2 - ac}{a^2} \neq 0.$

Somit können wir das System (8) in der Form (7) auflösen.

q.e.d.

[Bearbeiten] §4 Das Cauchysche Anfangswertproblem für quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung

[Bearbeiten] §5 Die Riemannsche Integrationsmethode

[Bearbeiten] Definition 1

Die Funktion $v (ξ,η) = : R (ξ,η; x, y)$ heißt Riemannsche Funktion, falls folgendes gilt:

$v$ genügt der Differentialgleichung $\mathcal{M}v = 0$ in $T (x, y)$ .
Wir haben $v (x, y) = R (x, y; x, y) = 1$ .
Längs $\widehat{BP}$ gilt $- v y + a v = 0$ bzw. $v(x, \eta) = \exp \left\{ \int\limits_y^\eta a(x, t)\, dt \right\}$ .
Längs $\widehat{PA}$ gilt $- v x + b v = 0$ bzw. $v(\xi, y) = \exp \left\{ \int\limits_x^\xi b(t, y)\, dt \right\}$ .

[Bearbeiten] Satz 1 (Riemannsche Integrationsmethode)

Eine Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung $\mathcal{L} u(\xi, \eta) = h(\xi, \eta)$ kann mit Hilfe ihrer Riemannschen Funktion $R (ξ,η; x, y)$ wie folgt durch ihre Cauchydaten dargestellt werden: Für $P = (x, y)$ gilt

$u(P) = u(A) R(A; P) - \iint\limits_{T(x, y)} R(\xi, \eta; P) h(\xi, \eta)\, d\xi d\eta + \int\limits_{\Gamma(x, y)} \Bigl\{ - (R_\eta(\xi, \eta; P) h(\xi, \eta) + auR) \nu_1 + (Ru_\xi + bRu) \nu_2 \Bigr\}\, d\sigma.$

[Bearbeiten] §6 Das Bernsteinsche Analytizitätstheorem

[Bearbeiten] Satz 1 (Analytizitätstheorem von S. Bernstein)

Sei eine Lösung $\mathfrak{x} = \mathfrak{x}(u, v) = (x_1(u, v), \ldots, x_n(u, v)): B \to \mathbb{R}^n \in C^3(B, \mathbb{R}^n)$ des Differentialgleichungsproblems

(1) $\Delta \mathfrak{x}(u, v) = \mathfrak{F}(u, v, \mathfrak{x}(u, v), \mathfrak{x}_u(u, v), \mathfrak{x}_v(u, v)), \quad (u, v) \in B$

mit der reellanalytischen rechten Seite

(2) $\mathfrak{F}: \mathcal{O} \to \mathbb{R}^n$

bzw.

(3) $\mathfrak{F} = \mathfrak{F}(u, v, z_1, \ldots, z_n, p_1, \ldots, p_n, q_1, \ldots, q_n): \mathcal{O} \to \mathbb{C}^n \in C^1(\mathcal{O}, \mathbb{C}^n)$

mit

(4) $\mathfrak{F}_{\overline{u}} \equiv \mathfrak{F}_{\overline{v}} \equiv \mathfrak{F}_{\overline{z_1}} \equiv \ldots \equiv \mathfrak{F}_{\overline{z_n}} \equiv \mathfrak{F}_{\overline{p_1}} \equiv \ldots \equiv \mathfrak{F}_{\overline{p_n}} \equiv \mathfrak{F}_{\overline{q_1}} \equiv \ldots \equiv \mathfrak{F}_{\overline{q_n}} \equiv 0$

gegeben. Dann ist $\mathfrak{x}$ reellanalytisch in $B$ .

[Bearbeiten] Beweis

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gehen wir aus von einer Lösung $\mathfrak{x} = \mathbf{x}(\alpha, \gamma): B \to \mathbb{R}^n \in C^3(B, \mathbb{R}^n)$ des Differentialgleichungssystems

(5) $\mathbf{x}_{\alpha\alpha}(\alpha, \gamma) + \mathbf{x}_{\gamma\gamma}(\alpha, \gamma) = \mathbf{F}(\alpha, \gamma, \mathbf{x}, \mathbf{x}_\alpha(\alpha, \gamma), \mathbf{x}_\gamma(\alpha, \gamma))$ in

B

.

Wir betrachten das Cauchysche Anfangswertproblem

(6) $\begin{matrix} - \mathbf{x}_{\beta\beta}(\alpha, \beta, \gamma) + \mathbf{x}_{\gamma\gamma}(\alpha, \beta, \gamma) = \mathbf{F}(\alpha, \beta, \gamma, \mathbf{x}, - i \mathbf{x}_\beta, \mathbf{x}_\gamma) \text{ in } \mathcal{B}', \\ \mathbf{x}(\alpha, 0, \gamma) = \mathbf{x}(\alpha, \gamma) \text{ in } B, \\ \mathbf{x}_\beta(\alpha, 0, \gamma) = i \mathbf{x}_\alpha(\alpha, \gamma) \text{ in } B \end{matrix}$

zum Parameter $α$ . Hierbei ist $\mathcal{B}' \subset \mathbb{R}^3$ eine geeignete offene Menge mit $B \subset \mathcal{B}'$ . Gemäß §4 hat (6) eine lokal eindeutige Lösung $\mathbf{x} = \mathbf{x}(\alpha, \beta, \gamma)$ , da die charakteristischen Kurven der Differentialgleichung aus $B$ herausführen. Wir bemerken, dass die Lösung differenzierbar vom Parameter $α$ abhängt. Es sei nun $u : = α + i β$ . Wir können nun den Operator

$\frac{\partial}{\partial \overline{u}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial \alpha} + i \frac{\partial}{\partial \beta} \right)$

auf die Differentialgleichung in (6) anwenden. Wir erhalten dann für die Funktion

$\mathbf{y}(\alpha, \beta, \gamma) = (y_1(\alpha, \beta, \gamma), \ldots, y_n(\alpha, \beta, \gamma)) := \mathbf{x}_{\overline{u}}(\alpha, \beta, \gamma)$

das Differentialgleichungssystem

(7) $- \mathbf{y}_{\beta\beta}(\alpha, \beta, \gamma) + \mathbf{y}_{\gamma\gamma}(\alpha, \beta, \gamma) = \sum_{j = 1}^n \Bigl\{ \mathbf{F}_{z_j} y_j - i\mathbf{F}_{p_j} y_{j, \beta} + \mathbf{F}_{q_j} y_{j, \gamma} \Bigr\}$ in $\mathcal{B}'$ .

Offenbar ist wegen (6)

(8) $\mathbf{y}(\alpha, 0, \gamma) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_\alpha(\alpha, 0, \gamma) + i \mathbf{x}_\beta(\alpha, 0, \gamma)) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_\alpha(\alpha, \gamma) + ii \mathbf{x}_\alpha(\alpha, \gamma)) = 0$ in

B

richtig. Weiter berechnen wir mit (6) und (5)

$\mathbf{y}_\beta(\alpha, 0, \gamma) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_{\alpha \beta}(\alpha, 0, \gamma) + i \mathbf{x}_{\beta \beta}(\alpha, 0, \gamma))$

$= \frac{1}{2} (\mathbf{x}_{\alpha \beta}(\alpha, 0, \gamma) + i \mathbf{x}_{\gamma \gamma}(\alpha, 0, \gamma) - i \mathbf{F}(\alpha, 0, \gamma, \mathbf{x}, \mathbf{x}_\alpha, \mathbf{x}_\gamma)) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_{\alpha \beta}(\alpha, 0, \gamma) - i \mathbf{x}_{\alpha \alpha}(\alpha, \gamma))$

$= \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \alpha} (\mathbf{x}_{\beta}(\alpha, 0, \gamma) - i \mathbf{x}_{\alpha}(\alpha, \gamma)) = 0$ in

B

,

also

(9) $\mathbf{y}_\beta(\alpha, 0, \gamma) = 0$ in

B

.

Das homogene Cauchysche Anfangswertproblem (7)–(9) ist eindeutig lösbar durch $\mathbf{y}(\alpha, \beta, \gamma) \equiv 0$ in $\mathcal{B}'$ und es folgt

(10) $\mathbf{x}_{\overline{u}}(\alpha, \beta, \gamma) \equiv 0$ in $\mathcal{B}'$ .

2. Wir setzen nun $\mathbf x$ von $\mathcal{B}'$ auf $\mathcal{B} \subset \mathbb{C}^2$ fort. Dazu lösen wir das Cauchysche Anfangswertproblem

(11) $\begin{matrix} \mathbf{x}_{\alpha\alpha}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) - \mathbf{x}_{\delta\delta}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = \mathbf{F}(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \mathbf{x}, \mathbf{x}_\alpha, - i \mathbf{x}_\delta) \text{ in } \mathcal{B}, \\ \mathbf{x}(\alpha, \beta, \gamma, 0) = \mathbf{x}(\alpha, \beta, \gamma) \text{ in } \mathcal{B}', \\ \mathbf{x}_\delta(\alpha, \beta, \gamma, 0) = i \mathbf{x}_\gamma(\alpha, \beta, \gamma) \text{ in } \mathcal{B}'. \end{matrix}$

Die Lösung hängt differenzierbar von den Parametern $β,γ$ ab und höhere Regularität folgt wieder wie in §4. Wir betrachten zunächst die Funktion

$\mathbf{y}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (y_1(\alpha, \beta, \gamma, \delta), \ldots, y_n(\alpha, \beta, \gamma, \delta)) := \mathbf{x}_{\overline{u}}(\alpha, \beta, \gamma, \delta).$

Diese genügt wegen (11) dem hyperbolischen System

(12) $\mathbf{y}_{\alpha\alpha}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) - \mathbf{y}_{\delta\delta}(\alpha, \beta, \gamma) = \sum_{j = 1}^n \Bigl\{ \mathbf{F}_{z_j} y_j + \mathbf{F}_{p_j} y_{j, \alpha} - i\mathbf{F}_{q_j} y_{j, \delta} \Bigr\}$ in $\mathcal{B}$

und erfüllt wegen (10) die Anfangsbedingungen

(13) $\mathbf{y}(\alpha, \beta, \gamma, 0) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_\alpha(\alpha, \beta, \gamma, 0) + i \mathbf{x}_\beta(\alpha, \beta, \gamma, 0)) = \mathbf{x}_{\overline{u}}(\alpha, \beta, \gamma) = 0$ in $\mathcal{B}'$

und

(14) $\mathbf{y}_\delta(\alpha, \beta, \gamma, 0) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_{\alpha \delta}(\alpha, \beta, \gamma, 0) + i \mathbf{x}_{\beta \delta}(\alpha, \beta, \gamma, 0)) = i \frac{\partial}{\partial \gamma} \mathbf{x}_{\overline{u}}(\alpha, \beta, \gamma) = 0$ in $\mathcal{B}'$ .

Aus (12) – (14) folgt $\mathbf{y}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = 0$ in $\mathcal{B}$ bzw.

(15) $\mathbf{x}_{\overline{u}}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \equiv 0$ in $\mathcal{B}$ .

Schließlich untersuchen wir die Funktion

$\mathbf{z}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (z_1(\alpha, \beta, \gamma, \delta), \ldots, z_n(\alpha, \beta, \gamma, \delta)) := \mathbf{x}_{\overline{v}}(\alpha, \beta, \gamma, \delta),$

welche wegen (11) dem folgenden Differentialgleichungssystem genügt:

(16) $\mathbf{z}_{\alpha\alpha}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) - \mathbf{z}_{\delta\delta}(\alpha, \beta, \gamma) = \sum_{j = 1}^n \Bigl\{ \mathbf{F}_{z_j} z_j + \mathbf{F}_{p_j} z_{j, \alpha} - i\mathbf{F}_{q_j} z_{j, \delta} \Bigr\}$ in $\mathcal{B}$ .

Wir berechnen für $\mathbf{z}$ die Anfangsbedingungen

(17) $\mathbf{z}(\alpha, \beta, \gamma, 0) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_\gamma(\alpha, \beta, \gamma, 0) + i\mathbf{x}_\delta(\alpha, \beta, \gamma, 0)) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_\gamma(\alpha, \beta, \gamma) + ii\mathbf{x}_\gamma(\alpha, \beta, \gamma)) = 0$ in $\mathcal{B}'$

und

(18) $\mathbf{z}_\delta(\alpha, \beta, \gamma, 0) = \frac{1}{2} (\mathbf{x}_{\gamma\delta}(\alpha, \beta, \gamma, 0) + i\mathbf{x}_{\delta\delta}(\alpha, \beta, \gamma, 0)) = \frac{\partial}{\partial \gamma} \frac{1}{2} (\mathbf{x}_{\delta}(\alpha, \beta, \gamma, 0) - i\mathbf{x}_{\gamma}(\alpha, \beta, \gamma, 0)) = 0$ in $\mathcal{B}'$ ,

wobei wir (11) und (5) benutzt haben. Gleichung (5) gilt nämlich wegen (10) auch in $\mathcal{B}'$ . Aus (16) – (18) schließen wir nun $\mathbf{z}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \equiv 0$ in $\mathcal{B}$ bzw.

(19) $\mathbf{x}_{\overline{v}}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \equiv 0$ in $\mathcal{B}$ .

Wir haben also die Lösung $\mathbf{x} = 22$ von (5) zu einer Funktion $\mathbf{x} = \mathbf{x}(\alpha, \beta, \gamma, \delta): \mathcal{B} \to \mathbb{C}^n$ fortgesetzt, die wegen (15) und (19) holomorph in den Variablen $u = α + i β$ und $v = γ + i δ$ ist. Somit ist

$\mathbf{x}(\alpha, \gamma) = \mathbf{x}(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \big|_{\beta = \delta = 0}$

reell analytisch in $α$ und $γ$ .

q.e.d.

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