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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 14/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.} Untersuche das \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} zu einem Polynom der Form $T^n$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.} Bestimme das \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} zu einem Polynom über $\Gamma (X, {\mathcal O}_X )$ für den Fall, dass die \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} konstant sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T^2- \exp z }
{ \in }{ \Gamma { \left( {\mathbb C} , {\mathcal O}_{ {\mathbb C} } \right) } [T] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 14.2  (4) unter der schwächeren Bedingung, dass $X$ zusammenhängend ist und dass \mathkor {} {P} {und} {P'} {} keinen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Resultante}{}{} von einem quadratischen Polynom
\mathl{aT^2+bT+c}{} und seiner \definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{}
\mathl{2aT+b}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ T^2 +z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $z$ die Variable von ${\mathbb C}$ bezeichne, die Faseranzahl im \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} $V$ zu $P$. Bestimme das \definitionsverweis {unverzweigte Nullstellengebilde}{}{} und das \definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ T^2 +zT-z^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $z$ die Variable von ${\mathbb C}$ bezeichne, die Faseranzahl im \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} $V$ zu $P$. Bestimme das \definitionsverweis {unverzweigte Nullstellengebilde}{}{} und das \definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ T^2 - (z+z^2)T+z^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $z$ die Variable von ${\mathbb C}$ bezeichne, die Faseranzahl im \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} $V$ zu $P$. Bestimme das \definitionsverweis {unverzweigte Nullstellengebilde}{}{} und das \definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{.} Ist $P$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{,} seien
\mathl{a_0 ,a_1 , \ldots , a_{n-1}}{} \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} auf $X$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{ X \times {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{T^n+a_{n-1}T^{n-1} + \cdots + a_1T+a_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $\beta$ eine weitere holomorphe Funktion auf $X$. Es sei $Q$ das Polynom in der neuen Variablen $S$, das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $T$ durch $S- \beta$ ersetzt und sei $W$ das zugehörige Nullstellenmenge zu $Q$. \aufzaehlungdrei{Stifte eine bijektive Abbildung $\theta$ zwischen \mathkor {} {V} {und} {W} {,} die mit den Projektionen nach $X$ verträglich ist. }{Zeige, dass unter $\theta$ die \definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebilde}{}{} ineinander überführt werden. }{Zeige, dass unter $\theta$ die \definitionsverweis {glatten Nullstellengebilde}{}{} ineinander überführt werden und dass darauf $\theta$ \definitionsverweis {biholomorph}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in Beispiel 14.9 die Fortsetzung des \definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebildes}{}{} \maabb {} {\tilde{V}} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {} nach ${\mathbb C}$ und nach ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ im Sinne von Satz 14.11.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in Beispiel 14.10 die Fortsetzung des \definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebildes}{}{} \maabb {} {\tilde{V}} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {} nach ${\mathbb C}$ und nach ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ im Sinne von Satz 14.11.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und $P$ ein \definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{} über
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} mit dem \definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebilde}{}{} $\tilde{V}$ und der zugehörigen Fortsetzung \maabb {} {Z} {X } {} im Sinne von Satz 14.11. Zeige, dass das \definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{} zu $P$ eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} von $Z$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und $P$ ein \definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{} über
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} mit dem \definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebilde}{}{} $\tilde{V}$ und der zugehörigen Fortsetzung \maabb {} {Z} {X } {} im Sinne von Satz 14.11. Zeige, dass wenn $P$ nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, dann $Z$ nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in der Situation von Satz 14.11 eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} \maabb {p} { Y } {X } {} im Allgemeinen nicht zu einer Überlagerung fortgesetzt werden kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige in der Situation von Lemma 14.13, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ = }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} des Polynoms $w^2-f$ eine riemannsche Fläche in ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }$ definiert und die Fortsetzung beschreibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige in der Situation von Lemma 14.13, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \geq }{ 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} des Polynoms $w^2-f$ keine riemannsche Fläche in ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }$ definiert.

}
{} {}