Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 2/kontrolle
- Aufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms , dessen Ableitung durch
(mit verschiedenen ) gegeben ist, in jedem Punkt .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 2.1 der komplexen Exponentialfunktion
in jedem Punkt .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 2.5 ändern
Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge und eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte , für die der lokale Exponent ist, diskret ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede offene Teilmenge eine komplexe Mannigfaltigkeit mit der Identität als einziger Karte ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede offene Teilmenge einer komplexen Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?
Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine zusammenhängende reelle Mannigfaltigkeit der Dimension und sei weiter vorausgesetzt, dass einen abzählbaren Atlas besitzt. Zeige, dass es eine surjektive stetige Abbildung
gibt.
(Das ist eher eine Aufgabe zur Entwicklung der Vorstellung, man denke an ein Klebeband, mit dem man einerseits die Fläche abklebt und andererseits die reelle Ebene durchläuft. Bei einer riemannschen Fläche gibt es im Allgemeinen keine holomorphe surjektive Abbildung ).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten den topologischen Raum, der entsteht, wenn man zweimal nimmt und die beiden miteinander in natürlicher Weise identifiziert (verklebt). Zeige, dass das entstehende Objekt kein Hausdorff-Raum ist und somit auch keine komplexe Mannigfaltigkeit, obwohl es zwei Karten mit dem Kartenbild gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Wurzelfläche zu im Sinne von Korollar 2.8 in natürlicher Bijektion mit selbst steht, wobei der Projektion die Quadratabbildung entspricht.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei (mit ) ein kubisches Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Korollar 2.8. Versuche, (bzw. reelle Ausschnitte davon) für geeignete Parameter zu skizzieren.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine riemannsche Fläche und sei eine endliche Teilmenge. Zeige, dass genau dann zusammenhängend ist, wenn zusammenhängend ist.
Die folgende Aufgabe ist für Leute gedacht, die eine algebraische Zahlentheorie gehört haben.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vergleiche die zu einem Polynom zugehörige Wurzelfläche über im Sinne von Korollar 2.8 mit der Spektrumsabbildung zu einem quadratischen Zahlbereich zu einer quadratfreien Zahl .