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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 23/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ \check{Z}^{ 1 } ( X , {\mathbb K} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein erster \definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{} in der \definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{} auf $X$ mit Werten in ${\mathbb K}$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit $U_i$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} repräsentiert sei. Es sei \maabbdisp {\gamma} {[0,1]} { X } {} ein \definitionsverweis {stetiger Weg}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma([0,1]) }
{ \subseteq }{ U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein $i$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ \check{Z}^{ 1 } ( X , {\mathbb K} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein erster \definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{} in der \definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{} auf $X$ mit Werten in ${\mathbb K}$. Zeige, dass zu einem \definitionsverweis {stetigen Weg}{}{} \maabbdisp {\gamma} {[0,1]} { X } {} die \definitionsverweis {Auswertung}{}{} $\int_\gamma z$ mit der Auswertung des zurückgezogenen Kozykels $\gamma^* z$ und dem identischen Weg auf $[0,1]$ übereinstimmt.

}
{} {}