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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 8/latex

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\setcounter{section}{8}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es eine $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \R^n} { \R^n } {} gibt, die einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2 } {} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{\Gamma_1, \Gamma_2 \subseteq \R^n}{} rationale \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \Q^n} { \Q^n } {} gibt, die einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2 } {} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} rationale \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es ein rationales Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle r+s { \mathrm i} , t+u { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s,t,u }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ru-st }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $\Gamma$ das Standardgitter
\mathl{\langle 1, { \mathrm i} \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3} }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\R }
{ =} { { \left\{ z \in \R[ { \mathrm i} ] \cong {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{\R/\Z}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Kreislinie}{}{} $S^1$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $S^1$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in S^1}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\alpha} {S^1} {S^1 } {x} { \alpha (x) } {,} und eine differenzierbare Abbildung \maabbeledisp {} {T = S^1 \times S^1} {S^1 } {(x,y)} { \varphi(x,y) } {,} derart, dass $S^1$ mit diesen Daten zu einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Gruppen}{}{}
\mathl{(\R,+)}{,}
\mathl{(\R \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} ,+)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{(\R^n,+)}{,}
\mathl{(S^1,\text{ mit der Winkeladdition} )}{,} die \definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }}{} bzw.
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} \definitionsverweis {topologische Gruppen}{}{} sind.

}
{} {}


Eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} $G$, die zugleich eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{} sind, heißt \zusatzklammer {reelle} {} {} \definitionswort {Lie-Gruppe}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Gruppen}{}{}
\mathl{(\R,+)}{,}
\mathl{(\R \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} ,+)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{(\R^n,+)}{,}
\mathl{(S^1,\text{ mit der Winkeladdition} )}{,} die \definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }}{} bzw.
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} \definitionsverweis {Lie-Gruppen}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} auf einer \definitionsverweis {Lie-Gruppe}{}{} \definitionsverweis {trivial}{}{} ist.

}
{} {Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) } }
{ \subseteq }{ \R^{n^2} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als \definitionsverweis {offene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^{n^2}$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $G$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in G}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\alpha} {G} {G } {x} { \alpha (x) } {,} und eine differenzierbare Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {G \times G} {G } {(x,y)} { \varphi(x,y) } {,} derart, dass $G$ mit diesen Daten zu einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} auf einer \definitionsverweis {Lie-Gruppe}{}{} \definitionsverweis {trivial}{}{} ist.

}
{} {Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.}





\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} als \definitionsverweis {Rotationsmenge}{}{} im $\R^3$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R>0}{} und betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} { { \left( \sqrt{x^2+y^2}- R \right) }^2 +z^2 } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung und die Gestalt der Faser über
\mathl{s \in \R}{.} Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von
\mathl{\sqrt{s} < R}{} zu
\mathl{\sqrt{s} > R}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Definiere die Abbildung \maabbdisp {} {S^1 \times S^1} { S^2 } {,} die zu einem Winkelpaar
\mathl{(\alpha, \beta)}{} die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{?} Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre
\mathl{S^2}{} und der Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zu welcher \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} ist
\mathl{S^1 \times S^1 \setminus \triangle}{,} also der Torus ohne die \definitionsverweis {Diagonale}{}{,} \definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Torus}{}{.} Man gebe eine surjektive \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {X } {} derart an, dass auch die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T_P(\varphi)} { T_P\R^2 } { T_{\varphi(P)}X } {} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Torus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ ein \definitionsverweis {Torus}{}{.} Zeige, dass die Vorgabe einer Basis der \definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{} von $T$ im Wesentlichen äquivalent zur Angabe einer \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \cong }{ S^1 \times S^1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass dann $\varphi$ eine $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist.

}
{} {}