Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass sich die folgenden Objekte in natürlicher Weise entsprechen.
\aufzaehlungsechs{\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
von $\Z^r$ nach $\Z$.
}{${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb C}[X_1,X_1^{-1} , \ldots , X_r,X_r^{-1}] } { {\mathbb C} [T,T^{-1}]
} {}
der Form
\mathdisp {X_i \longmapsto T^{a_i}} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_j
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Multiplikative Abbildungen von ${\mathbb C} ^{\times}$ nach
\mathl{{ \left( {\mathbb C} ^{\times} \right) }^r}{} der Form
\mathdisp {z \longmapsto \left( z^{a_1} , \, \ldots , \, z^{a_r} \right)} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_j
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{\definitionsverweis {Monoidhomomorphismen}{}{}
von $\N^r$ nach $\Z$.
}{Multiplikative Abbildungen von ${\mathbb C} ^{\times}$ nach
\mathl{{\mathbb C}^r}{} der Form
\mathdisp {z \longmapsto \left( z^{a_1} , \, \ldots , \, z^{a_r} \right)} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_j
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Stetige Abbildungen
\maabbdisp {} {[0,2 \pi]} { { \left( {\mathbb C} ^{\times} \right) }^r
} {}
der Form
\mathdisp {s \longmapsto \left( e^{ a_1 { \mathrm i} s} , \, \ldots , \, e^{ a_r { \mathrm i} s} \right)} { }
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_j
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ s \times r } (\Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$s \times r$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit ganzzahligen Koeffizienten. Es sei
\maabb {} {\Z^r} { \Z^s
} {}
der zugehörige Gruppenhomomorphismus,
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} [X_1,X_1^ {-1} , \ldots , X_r,X_r^{-1} ] } { {\mathbb C} [Y_1,Y_1^{-1} , \ldots , Y_s,Y_s^{-1} ]
} { X_j} { Y^{m_j}
} {,}
der zugehörige
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{,}
wobei $m_j$ die $j$-te Spalte von $M$ ist und
\maabbeledisp {} { { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) }^s} { { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) }^r
} { ( y_1 , \ldots , y_s ) } { (y^{m_1} , \ldots , y^{m_r })
} {,}
die zugehörige multiplikative Abbildung. Zeige, dass die
\definitionsverweis {transponierte Matrix}{}{}
die natürliche Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen beschreibt, dass also
\maabbdisp {} { \Z^ s \cong \pi { \left( { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) }^s , (1 , \ldots , 1) \right) } } { \Z^ r \cong \pi { \left( { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) }^r , (1 , \ldots , 1) \right) }
} {}
durch
\mathl{{ M^{ \text{tr} } }}{} gegeben ist.
}
{} {}
Es seien
\mathl{G_1,G_2,G_3}{}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}
Man nennt ein Diagramm der Form
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, G_1 \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, G_2 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, G_3 \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionswort {kurze exakte Sequenz}{} von Gruppen, wenn $G_1$ ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
von $G_2$ ist und wenn $G_3$ isomorph zur
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
$G_2/G_1$ ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {a\in \Z} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z \, \stackrel{ a }{ \longrightarrow} \, \Z \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z/(a) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z/(a) , \Z \right) } \longrightarrow \Z \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z , \Z \right) } \longrightarrow \Z \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z , \Z \right) } \longrightarrow E \cong \Z/(a) \longrightarrow 0} { }
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\Z^n} {\Z^m
} {}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z^n \, \stackrel{ \varphi }{ \longrightarrow} \, \Z^m \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, D \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{.}
Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( D , \Z \right) } \longrightarrow \Z^m \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^m , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) }} { }
führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\Z^n} {\Z^m
} {}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z^n \, \stackrel{ \varphi }{ \longrightarrow} \, \Z^m \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, D \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{,}
wobei $D$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( D , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) } \longrightarrow E \longrightarrow 0} { }
führt, wobei $E$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu $D$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$G$ und sei
\maabb {\varphi} {H} { \Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass es einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {G} { \Q
} {}
gibt, der $\varphi$
\zusatzklammer {als Abbildung nach $\Q$} {} {}
fortsetzt.
}
{} {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Der $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M }^{ * }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ R } { \left( M , R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt der
\definitionswort {duale Modul}{}
zu $M$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mathl{L,M,N}{.} Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow { N }^{ * } \longrightarrow { M }^{ * } \longrightarrow { L }^{ * }} { }
der
\definitionsverweis {dualen Moduln}{}{}
führt.
}
{} {}
Ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ über einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
heißt
\definitionswort {Torsionsmodul}{,}
wenn es zu jedem
\mathl{v \in M}{} ein
\mathbed {r \in R} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{rv
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Torsionsmodul}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {duale Modul}{}{}
\mathl{{ M }^{ * }=0}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein endlich erzeugtes Monoid und \maabbdisp {\gamma} {M} {\Z } {} ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb C}^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1}] \right) } \right) }_{\mathbb C} } { { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {} und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg \maabbdisp {} {S^1 } { { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {.} Zeige, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus $\gamma$ durch $\N$ faktorisiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ das
\definitionsverweis {punktierte Spektrum}{}{}
zu
\mathl{R={\mathbb C}[U,V,Z]/(U^2+V^2 -Z^2)}{.} Man gebe einen expliziten Erzeuger der
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
von $M$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {A =
\begin{pmatrix} \xi_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \xi_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \xi_n \end{pmatrix}} { }
eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
\mathl{\xi_j}{} in einem Körper $K$ seien. Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
der von $A$ erzeugten zyklischen Gruppe auf dem $K^n \setminus \{0\}$ genau dann
\definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
der $\xi_j$ übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{K[U,V]^{(s)}}{} als
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
durch
\mathl{s+1}{} Elemente
\mathl{Z_0,Z_1 , \ldots , Z_s}{} erzeugt wird derart, dass sämtliche
$2\times 2$-\definitionsverweis {Minoren}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z_0 & Z_1 & \ldots & Z_{ s-2} & Z_{ s-1} \\ Z_1 & Z_2 & \ldots & Z_{ s-1} & Z_s \end{pmatrix}} { }
Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die minimale Anzahl eines
\definitionsverweis {Erzeugendensystems}{}{} für den
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^{(s)}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $A$ eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mathl{s \in \N_+}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $R$ eine $s$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthalte. Zeige, dass
\mathl{A^{( s )}}{}
der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
unter der natürlichen Operation der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/( s ) \right) } ^{ \vee }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{s \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{R^{(s)}}{} der
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
zum Monoid
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ m= (m_1 , \ldots , m_n) \in \N^n \mid \sum_{i= 1}^n m_i \in \N s \right\} }
}
{ \subseteq} {\N^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
auf der eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ als Gruppe von
\definitionsverweis {homogenen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A^{(s)} \right) }^G
}
{ =} { { \left( A^G \right) }^{(s)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
der zyklischen Gruppe
\mathl{\Z/(5)}{} auf ${\mathbb C}^3$ durch Potenzen der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \xi & 0 & 0 \\ 0 & \xi & 0 \\0 & 0 & \xi^3 \end{pmatrix}} { , }
wobei $\xi$ eine fünfte
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
sei. Bestimme den
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{} $S_2$ auf dem ${\mathbb C}^2$ und es sei \maabbdisp {} {{\mathbb C}^2 \setminus T} { { \left( {\mathbb C}^2 \backslash S_2 \right) } \setminus q(T) } {} die zugehörige \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{,} wobei $T$ der \definitionsverweis {Fixraum}{}{} der Operation sei. Beschreibe die induzierte Abbildung der \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} eine nichttriviale
\definitionsverweis {Reflektionsgruppe}{}{.}
Zeige, dass zu einer fixpunktfreien, offenen
$G$-\definitionsverweis {invarianten Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq K^n}{} das Komplement
\mathl{K^n \setminus U}{} eine Dimension
\mathl{\geq n-1}{} besitzt.
}
{} {}
Eine endliche
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt
\definitionswort {klein}{,}
wenn sie keine
\definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{}
enthält.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} eine
\definitionsverweis {kleine Gruppe}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq { \left( \operatorname{Spek} { \left( K[X_1 , \ldots , X_n ]^G \right) } \right) }_{\mathbb C}}{} gibt, deren
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
gleich $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
der zyklischen Gruppe
\mathl{\Z/(3)}{} auf ${\mathbb C}^4$ durch Potenzen der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \xi & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \xi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \xi^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \xi^2 \end{pmatrix}} { , }
wobei $\xi$ eine dritte
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
sei. Bestimme den
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {singuläre Ort}{}{}
der affinen Varietät
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( A^2-BCD \right) }
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$} {} {}
aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$ unter der in
Beispiel 10.6
besprochenen Quotientenabbildung sind.
}
{} {}