Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{}
von $F$ ist, wenn das
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
${\mathfrak m}_P$ das
\definitionsverweis {Jacobiideal}{}{}
$J_F$ umfasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Bringe die Begriffe
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{}
von $F$, Nullstelle der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$F'$ und
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
oberhalb des
\definitionsverweis {Jacobiideals}{}{}
$J_F$ miteinander in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Es sei $P$ eine Nullstelle von $F$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vielfachheit}{}{}
der Nullstelle um $1$ größer als die
\definitionsverweis {Milnorzahl}{}{}
von $F$ in $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Milnorzahl}{}{}
für die Kurven
\mathl{V { \left( X^a-Y^b \right) }}{} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Milnorzahl}{}{} für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Milnorzahl}{}{}
von $F$ im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F+Z^2
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $F$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} in den Variablen $X_1 , \ldots , X_m$ und $G$ ein Polynom in den Variablen $Y_1 , \ldots , Y_n$. Wir interessieren uns für die Summe $F+G$ \zusatzklammer {in den Variablen $X_1 , \ldots , X_m, Y_1 , \ldots , Y_n$} {} {.} \aufzaehlungzwei {Sowohl $F$ als auch $G$ definieren eine \definitionsverweis {isolierte Singularität}{}{} im Nullpunkt. Zeige, dass auch $F+G$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt definiert. } {Zeige, dass die \definitionsverweis {Milnorzahl}{}{} von $F+G$ \zusatzklammer {im Nullpunkt} {} {} das Produkt der Milnorzahlen der beiden Polynome \mathkor {} {F} {und} {G} {} ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} {X+X^2
}
{ \in} { K[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Voraussetzung von
Lemma 14.13
erfüllt, und dass daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(g)
}
{ = }{ (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{K[X]_{(X)}}{} gilt, dass dies aber nicht in
\mathl{K[X]}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathfrak n}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Es sei $R_{\mathfrak n}$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
von $R$ an ${\mathfrak n}$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ {\mathfrak n} R_{\mathfrak n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das maximale Ideal von $R_{\mathfrak n}$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak n}
}
{ = }{R_{\mathfrak n} /{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-xy^2+x^2-y^3 } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
von $f$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen
\mathl{p,q,n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p+q
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {,}
deren
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
im Nullpunkt den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^a+Y^b+Z^c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} zu den zweidimensionalen ADE-Singularitäten im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ \R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein reelles Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{.}
Beweise
Lemma 14.14
mit Hilfe von
Satz 39.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)),
angewendet auf die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
von $F$.
}
{} {}