Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass die Multiplikation auf dem
\definitionsverweis {assoziierten graduierten Ring}{}{}
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } R}{} wohldefiniert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der zugehörige
\definitionsverweis {assoziierte graduierte Ring}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum Polynomring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z_{ (p)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p) \Z_{ (p)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {assoziierten graduierten Ring}{}{}
zu ${\mathfrak m}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} { R/ {\mathfrak a} [X_1 , \ldots , X_n]} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } R
} {X_i} { [f_i]
} {,}
wobei
\mathl{[f_i]}{} die Restklasse von $f_i$ in
\mathl{{\mathfrak a}/ {\mathfrak a}^2}{} bezeichnet, ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {graduierter}{}{}
$R/ {\mathfrak a}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zu einer monomialen
\definitionsverweis {ebenen Kurve}{}{}
\mathl{V { \left( X^a-Y^b \right) }}{} den
\definitionsverweis {assoziierten graduierten Ring}{}{}
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R}{,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y] / { \left( X^a-Y^b \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ] / {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\maabbeledisp {\varphi} { K [ T_1 , \ldots , T_n ]} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R
} {T_i} { \tilde{X}_i
} {,}
wobei
\mathl{\tilde{X}_i}{} die Restklasse von $X_i$ modulo ${\mathfrak m}^2$ bezeichnet. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {homogenen Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { F_d + F_{d+1} + \cdots + F_m
}
{ \in} { K [ X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{F_d(T_1 , \ldots , T_n)}{} zum Kern von $\varphi$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ] / {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {homogenen Ideal}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R
}
{ \cong} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ] / (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {homogenen Zerlegung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ F_d + F_{d+1} + \cdots + F_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R
}
{ \cong} { K [ T_1 , \ldots , T_n ]/(F_d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zu einem
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
$V$ bezeichnet man mit
\mathl{{\mathfrak a} U}{} den von allen Produkten
\mathdisp {fv \text{ mit } f \in {\mathfrak a} \text{ und }v \in U} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{} Untermodul.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Idealprodukt}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak b}}{} mit dem
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak b}}{} aus dem Ideal ${\mathfrak a}$ und dem
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
eines
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} \right) } \cdot U
}
{ =} { {\mathfrak a} \cdot { \left( {\mathfrak b} \cdot U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
eines
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathfrak a}+ {\mathfrak b} \right) } \cdot U
}
{ =} { {\mathfrak a} \cdot U + {\mathfrak b} \cdot U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U,W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{}
eines
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cdot { \left( U +W \right) }
}
{ =} { {\mathfrak a} \cdot U + {\mathfrak a} \cdot W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
zwischen den
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass dies in natürlicher Weise zu einem
\definitionsverweis {homogenen Homomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } M } { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } N
} {}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{F_m + \cdots + F_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \leq }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n ]} { K[X_1 , \ldots , X_n ]
} {G} {FG
} {,}
einen injektiven, wohldefinierten
$K[X_1 , \ldots , X_n ]$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n ]/ {\mathfrak m}^{d-m} } {K[X_1 , \ldots , X_n ]/ {\mathfrak m}^{d}
} {}
festlegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{S=R/{\mathfrak a}}{.} Zu einem Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} welches
\mathl{{\mathfrak a}}{} enthält, sei
\mathl{I^\prime=I R/{\mathfrak a}}{} das zugehörige Ideal in $S$. Zeige, dass es eine kanonische
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R /I
}
{ \cong} { S/I^\prime
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit zwei Idealen
\mathl{{\mathfrak a}, {\mathfrak b} \subseteq R}{.} Es sei
\mathl{S=R/{\mathfrak b}}{} und
\mathl{\tilde{ {\mathfrak a} }= {\mathfrak a}S}{} das Bildideal. Zeige, dass
\mathl{{\mathfrak a}^nS=\tilde{ {\mathfrak a} }^n}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei $N$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{}
\mathl{L \subseteq M \subseteq N}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassenmoduln}{}{}
durch die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}M/L
\stackrel{}{\longrightarrow}N/L
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}N/M
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
miteinander in Beziehung stehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathl{I,J \subseteq R}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Sequenz
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}R/ I \cap J
\stackrel{}{\longrightarrow}R/I \times R/J
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}R/I+J
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
mit
\mathl{r \mapsto (r,r)}{} und
\mathl{(s,t) \mapsto s-t}{}
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{} der zweidimensionalen ADE-Singularitäten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring mit \definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{} $e$. Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität des $R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{} $R^n$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Delta$ ein
\definitionsverweis {simplizialer Komplex}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{K[X_1 , \ldots , X_n ]/I_\Delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Stanley-Reisner-Ring}{}{}
und $R$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
von $S$ am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{ \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }}{.} Die Dimension von $\Delta$ sei $d$ und $\Delta$ besitze $k$
\definitionsverweis {Facetten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{}
von $R$ gleich $k$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {F_m +F_{m+1} + \cdots + F_d
}
{ \in} {K [X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
eines Polynoms und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left( K [X_1 , \ldots , X_n ]_{ { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) } } \right) } /(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{.}
Zeige, dass der Obergrad $d$ keine Invariante des lokalen Ringes $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V(XYZ)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungsechs{Bestimme die glatten Punkte von $V$.
}{Skizziere $V$ und den singulären Ort von $V$.
}{Analysiere das Schnittverhalten von $V$ mit beliebigen Ebenen.
}{Analysiere das Schnittverhalten von $V$ mit beliebigen Geraden.
}{Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes
\mathl{K[X,Y,Z]/(XYZ)}{} für die Argumente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes
\mathl{K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ)}{?}
}
}
{} {}