Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_cohen_macaulay_scheme_thumb.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Non cohen macaulay scheme thumb.png } {} {Jakob.scholbach} {en.wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
Finde ein \definitionsverweis {Ideal}{}{,} dessen \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} das folgende Gebilde ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die reellen Nullstellengebilde von
\mathl{Y^n-X^n}{} und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen
\mathl{V_n \subset \mathbb A^2_{\mathbb R}}{,} die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks (mit $(1,0)$ als einem Eck) besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
}
{ =} { {\mathbb C}^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affin-algebraische}{}{}
Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}^n
}
{ =} { \R^{2n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Teilmenge $V$ auch eine affin-algebraische Menge des ${ {\mathbb A}_{ \R }^{ 2n } }$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene ebene
\definitionsverweis {affin-algebraische Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V(f)
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu entwickeln, ist es, die Schnitte von $V$ mit der Geradenschar
\mathbed {V(X-c)} {}
{c \in K} {}
{} {} {} {,}
zu betrachten. Diese Schnitte sind eine endliche Ansammlung von Punkten auf der Geraden oder aber
\zusatzklammer {das ist ein Ausnahmefall} {} {}
die volle Gerade. Diese Punktemengen variieren mit dem Parameter $c$. Man kann sich also eine ebene Kurve als eine variierende Familie von nulldimensionalen Objekten vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder ${\mathbb C}$} {} {}
durchzuführen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V(f_1 , \ldots , f_m )
}
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu entwickeln, ist es, die Schnitte von $V$ mit der Hyperebenenschar
\mathbed {V(X-c)} {}
{c \in K} {}
{} {} {} {,}
zu betrachten. Diese Schnitte sind affin-algebraische Mengen, die in einer kleineren Dimension leben, und mit dem Parameter $c$ variieren. Man kann sich also beispielsweise eine affin-algebraische Fläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(f)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als eine variierende Familie von ebenen algebraischen Kurven vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder ${\mathbb C}$} {} {}
durchzuführen, beispielsweise für den Doppelkegel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V(f_1 , \ldots , f_s)
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_s
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} {V(g_1 , \ldots , g_t )
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_1 , \ldots , g_t
}
{ \in }{ K[Y_1 , \ldots , Y_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {affin-algebraische Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V \times W
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } \times { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ =} { { {\mathbb A}_{ K }^{ m+n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls affin-algebraisch ist, und zwar von den Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_s,g_1 , \ldots , g_t
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_m,Y_1 , \ldots , Y_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} {V(g_1 , \ldots , g_ \ell )
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {affin-algebraische Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass es eine affin-algebraische Menge im
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }}{} gibt, die die
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
der beiden Mengen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } \setminus V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das offene Komplement. Zeige, dass $U$ in der metrischen Topologie
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen $\mathbb C$ nicht \definitionsverweis {kompakt}{}{} in der metrischen Topologie ist.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Vase-rotationsfl-cos.svg} }
\end{center}
\bildtext {Wenn man die rote Kurve um die $y$-Achse rotieren lässt, entsteht die Vasenoberfläche. Wenn die Kurve algebraisch ist, so ist auch die Fläche algebraisch.} }
\bildlizenz { Vase-rotationsfl-cos.svg } {} {Ag2gaeh} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Wir erinnern an die Definition einer Rotationsmenge.
Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R \times \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mathdisp {{ \left\{ (x, y \cos \alpha, y \sin \alpha ) \in \R^3 \mid (x,y) \in T , \, \alpha \in [0, 2 \pi] \right\} }} { }
die zugehörige \definitionswort {Rotationsmenge}{}
\zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V(f)
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle
\definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{,}
die durch das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \R[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert werde. Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche, die im $\R^3$ durch Rotation um die $x$-Achse entsteht, als Nullstellenmenge zu einem Polynom aus $\R[X,Y,Z]$ beschrieben werden kann.
}
{} {Man untersuche zuerst den Fall, dass $y$ in $f$ nur mit geradzahligen Exponenten vorkommt.}
\inputaufgabe
{}
{
Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die $x$-Achse zu den folgenden algebraischen Kurven
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V(f)
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschreibt. Skizziere die Situation.
\aufzaehlungsechs{
\mathl{V(X-1)}{,}
}{
\mathl{V(X^2+Y^2-1)}{,}
}{
\mathl{V(X-Y^2)}{,}
}{
\mathl{V(X^2-Y^2)}{,}
}{
\mathl{V(X^3+Y^2)}{,}
}{
\mathl{V(X^2+X^3+ Y^2 )}{.}
}
Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die $x$-Achse zu den folgenden algebraischen Kurven
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V(f)
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschreibt. Skizziere die Situation.
\aufzaehlungsieben{
\mathl{V(Y-1)}{,}
}{
\mathl{V(XY)}{,}
}{
\mathl{V(Y-X)}{,}
}{
\mathl{V(Y-X^2)}{,}
}{
\mathl{V(Y-X^2+1)}{,}
}{
\mathl{V(X^2+Y^3)}{,}
}{
\mathl{V(X^2+Y^3+ Y^2 )}{.}
}
Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle
\mathkor {} {U { \left( P,r \right) }} {bzw.} {B \left( P,r \right)} {}
im $\R^n$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht offen bzw. abgeschlossen in der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere
\definitionsverweis {Zariski-offene}{}{} Menge
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_K}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper.
\aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mathl{K = \R}{} bzw.
\mathl{K = {\mathbb C}}{} die Standardtopologie
\zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {}
feiner ist als die
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.}
}{Man zeige, dass für $K[X]$ die Zariski-Topologie mit der
\definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{}
übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{n > 1}{?}
}{Wann ist die Zariski-Topologie $T_1$, wann ist sie
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?}
}{Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom in $n$ Variablen über $\R$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid F(x) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei \maabbdisp {\varphi} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Beweise den folgenden Spezialfall
des Hilbertschen Nullstellensatzes
direkt: Wenn
\mathl{f \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} keine Nullstelle im $K^n$ besitzt, so ist $f$ ein
\zusatzklammer {von $0$ verschiedenes} {} {}
konstantes Polynom.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die beiden Polynome
\mathl{X^2+Y^2}{} und
\mathl{X^2-Y^3}{} und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern $\R$ und ${\mathbb C}$.
\aufzaehlungvier{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2)
}
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$?
}{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2)
}
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}$?
}{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{\R[X,Y]}{?}
}{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum Radikal von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in einer Variablen.
}
{} {}
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {maximales Ideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/I$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige Ideal
\mathdisp {(X_1-a_1, X_2-a_2 , \ldots , X_n-a_n)} { }
\definitionsverweis {maximal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Rectangular_hyperbola.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Rectangular hyperbola.svg } {} {Qef} {Commons} {PD} {}
Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K= \mathbb Q}{} der
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{.}
Begründe, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(X^2+Y^2-1)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das reelle Polynom
\mathdisp {P=X^ 2(X-1)^ 2+Y^2 { \left( X^ 2+ (X-1)^2 \right) } \in \R[X,Y]} { }
ein
\definitionsverweis {Primpolynom}{}{}
ist, und dass die Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(P)
}
{ \subseteq} { \R^ 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht leer, aber reduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in $\mathbb A^3_{\R}$ den Schnitt des Zylinders
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Kugel mit Mittelpunkt
\mathl{P=(0,0,0)}{} und Radius $r$ in Abhängigkeit von $r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Menge der reellen Zahlen $\R$ mit der metrischen Topologie. Ist $\R$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} $X$ nur dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, wenn er einpunktig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die folgenden
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
\aufzaehlungdrei{Der
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{K \times K \times K}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{K[X]/(X^3-X)}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{K[X,Y]/(X,Y) \cdot (X-1,Y-1) \cdot (X,Y-7)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es seien
\mathl{a_1, \ldots , a_n \in K}{} beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{F \in K[X,Y]}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P_i)
}
{ = }{a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i=1, \ldots , n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die aus $d$ Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
zur
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(5X-8Y +3)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion
\maabbeledisp {F} {K^n} {K
} {(a_1 , \ldots , a_n)} {F(a_1 , \ldots , a_n)
} {,}
nicht die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{V \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine irreduzible
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
mit
\definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \,(V)}{.} Zeige, dass
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n] / {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der der
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V( {\mathfrak a} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Zeige, dass die
\definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{}
von $V$ den
\definitionsverweis {minimalen Primidealen}{}{}
von $R$ entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung \maabbdisp {} {{\mathbb A}^{2}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {} derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
\mathdisp {V(x^2+y^2-2) \text{ und } V(x^2+2y^2-1)} { }
über dem Körper $\Z/(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper
\mathl{K \supseteq \Z/(7)}{,} über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über $K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.
}
{} {}