Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass der
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{R^n}{}
\definitionsverweis {flach}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass der
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{R_S}{}
\definitionsverweis {flach}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {flacher}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei $S$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{M \otimes_{ R } S}{} ein flacher $S$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige, dass $M$ genau dann ein
\definitionsverweis {projektiver Modul}{}{,}
wenn es einen weiteren Modul $N$ derart gibt, dass die direkte Summe
\mathl{M \oplus N}{}
\definitionsverweis {frei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
Zeige, dass jeder
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$
\definitionsverweis {projektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {artinschen Ring}{}{} und einen \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$, der nicht \definitionsverweis {projektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu dem
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {p} {\Z^{(\N_+)}} { \Q
} {e_n} { { \frac{ 1 }{ n } }
} {,}
keinen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {i} {\Q } {\Z^{(\N_+)}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ i
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ \Q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Folgere, dass der
$\Z$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$\Q$ nicht
\definitionsverweis {projektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {projektiver}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{M_T}{} ein projektiver $R_T$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {projektiver}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei $S$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{M \otimes_{ R } S}{} ein projektiver $S$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zeige, dass $M$ genau dann
\definitionsverweis {lokal frei}{}{}
ist, wenn es Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die $M_{f_i}$
\definitionsverweis {frei}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \R [X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^2+Z^2-1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
$R$-\definitionsverweis {Modul der Kählerdifferentiale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R {{|}} \R }
}
{ =} { R dX \oplus R dY \oplus R dZ /( XdX+YdY +ZdZ)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eingeschränkt auf die offenen Mengen $D(X),\, D(Y), \, D(Z)$
\zusatzklammer {also
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ { \left( \Omega_{ R {{|}} \R } \right) }_X
}
{ = }{ \Omega_{ R_X {{|}} \R }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
etc.} {} {}
frei ist und dass damit $\Omega_{ R {{|}} \R }$
\definitionsverweis {lokal frei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{,}
$M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\mathdisp {\ldots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0} { }
eine
\definitionsverweis {minimale freie Auflösung}{}{}
von $M$. Zeige, dass der Rang von $F_i$ gleich der
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von
\mathl{M_i \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_i
}
{ = }{ \operatorname{kern} \left( \theta_{i-1} \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(R,{\mathfrak m})$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ R/ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ \neq }{ (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann für jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die natürliche Abbildung
\maabbdisp {} { {\mathfrak a} } { R/ {\mathfrak b}
} {}
nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Restklassenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Z} { \Z/(2)
} {.}
Zeige, dass für jede
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierte Abbildung
\maabbdisp {} { (p) } { \Z/(2)
} {}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(R,{\mathfrak m})$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
und sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {F} {M
} {}
ein surjektiver
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {freien Modul}{}{}
$F$, wobei eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
auf ein
\definitionsverweis {minimales Erzeugendensystem}{}{}
abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von $\varphi$ auf einen echten Untermodul
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Bestimme die minimale
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
des
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
\mathl{R/(f)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} über $R$, die eine injektive lineare Abbildung \maabbdisp {M} {R^m} {R^n } {} definiere. Zeige, dass die \definitionsverweis {projektive Dimension}{}{} des \definitionsverweis {Kokerns}{}{} $\leq 1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{K[X_1 , \ldots , X_n]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
$A$-\definitionsverweis {Modul der Kählerdifferentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ A {{|}} K }}{} eine endliche
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
besitzt.
}
{} {Tipp: Siehe
Bemerkung 12.9.}
\inputaufgabe
{}
{
Es beschreibe $R$ eine zweidimensionale
\definitionsverweis {ADE-Singularität}{}{.}
Zeige, dass es im
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ jeweils zwei Elemente $f,g$ derart gibt, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(f,g)}{} eine endliche
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
ähnlich zu
Beispiel 23.17
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine zweidimensionale \definitionsverweis {ADE-Singularität}{}{.} Beschreibe \zusatzklammer {den Anfang} {} {} die minimale \definitionsverweis {freie Auflösung}{}{} des \definitionsverweis {Restklassenkörpers}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein dreidimensionaler \definitionsverweis {lokaler}{}{} \definitionsverweis {regulärer Ring}{}{.} Konstruiere eine endliche \definitionsverweis {freie Auflösung}{}{} des \definitionsverweis {Restklassenkörpers}{}{} ähnlich zu Beispiel 23.17.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\mathdisp {0 \longrightarrow F_n \longrightarrow \ldots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0} { }
eine endliche
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{.}
Zeige, dass sämtliche Kerne zu
\maabb {d_i} {F_{i+1}} {F_i
} {}
eine endliche freie Auflösung besitzen.
}
{} {}