Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{.} Zeige, dass jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem \definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{} $R$ der \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} und das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von zwei Elementen $f,g \in R$ existieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $ab$ und das Produkt aus
\mathl{{\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) }}{} und
\mathl{{\operatorname{GgT} \, \left( a , b \right) }}{} zueinander
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{a_1,a_2 , \ldots , a_n \in R}{} Elemente in einem
\definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{}
$R$ und
\mathl{k \in \N}{.}
a) Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{ kgV}_{ } ^{ } { \left( a_1^k,a_2^k , \ldots , a_n^k \right) } \text{ und } { \left( \operatorname{ kgV}_{ } ^{ } { \left( a_1,a_2 , \ldots , a_n \right) } \right) }^k} { }
zueinander
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
b) Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{ ggT}_{ } ^{ } { \left( a_1^k,a_2^k , \ldots , a_n^k \right) } \text{ und } { \left( \operatorname{ ggT}_{ } ^{ } { \left( a_1,a_2 , \ldots , a_n \right) } \right) }^k} { }
zueinander assoziiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$. Zeige: Wenn
\mathl{F,G \in R[X]}{} keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in
\mathl{Q(R)[X]}{} ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{K=Q(R)}{.} Zeige, dass jedes Element
\mathbed {f\in K} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { up_1^{r_1} { \cdots } p_n^{r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mathl{u \in R}{} und ganzzahligen Exponenten $r_i$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{K=Q(R)}{.} Es sei
\mathl{a \in K}{} ein Element mit
\mathl{a^n \in R}{} für eine natürliche Zahl
\mathl{n \geq 1}{.} Zeige, dass dann schon $a$ zu $R$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{n \in \N} R_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {positiv-graduierter}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {homogenes Element}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $1$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das nicht isomorph zu $\N$ sei, und sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring $K[M]$ \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} gibt, die nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind. Man gebe Elemente aus $K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid F(0) = F(1) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von
\mathl{K[X]}{} ist.
}{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ X(X-1)P+a \mid P \in K[X] , \, a \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass $R$ nicht
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in den Koordinatenringen zu den $A$-Singularitäten, also in
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( XY-Z^n \right) }}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
Elemente, die
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in den Koordinatenringen zu den $D$-Singularitäten, also in
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+YZ^2 + Y^{m+1} \right) }}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
Elemente, die
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde im Koordinatenring zur $E_6$-Singularität, also in
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+ Y^3 + Z^4 \right) }}{,} Elemente, die
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde im Koordinatenring zur $E_7$-Singularität, also in
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2 +Y^3 +YZ^3 \right) }}{,} Elemente, die
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in in
\mathl{K[X,Y,Z,W]/ { \left( XY-ZW \right) }}{} Elemente, die
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine dreidimensionale
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{,}
die ein
\definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{}
sei. Zeige, dass für
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathkor {} {{\mathfrak p}} {und} {{\mathfrak q}} {}
der
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
\mathkor {} {r} {bzw.} {s} {}
jedes
\definitionsverweis {minimale Primideal}{}{}
oberhalb von
\mathl{{\mathfrak p}+ {\mathfrak q}}{} eine Höhe
\mathl{\leq r+s}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Nichteinheiten}{}{.}
Zeige, dass es einen maximalen Exponenten $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g^n h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Produktring}{}{} $R \times S$ die Aussage aus Lemma 25.6 nicht gelten muss.
}
{} {}
Der in der folgenden Aufgabe besprochene Ring zeigt, dass
der Krullsche Hauptidealsatz,
Lemma 25.5
und
Lemma 25.6
für nichtnoethersche Integritätsbereiche nicht gelten muss.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte den
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X,Y_0,Y_1,Y_2, \ldots]/ { \left( Y_0-XY_1,Y_1-XY_2,Y_2-XY_3, \ldots \right) }
}
{ =} { K[X, Y_n,n \in \N]/ { \left( Y_i -XY_{i+1}, i \in \N \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungsechs{Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist.
}{Zeige, dass $X$ ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
ist.
}{Zeige, dass $(X)$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
von $R$ ist.
}{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { \bigcap_{n \in \N} { \left( X^n \right) }
}
{ =} { { \left( Y_j, j \in \N \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt und dass dies ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist, das nicht
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
ist. Wie lautet der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
zu ${\mathfrak p}$?
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
von $R$ zumindest $2$ ist.
}{Zeige, dass $Y_0$ keine Faktorzerlegung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{}
besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten
\zusatzklammer {gegeben durch den Ring $R$} {} {}
Ringelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Ring
\mathl{{\mathbb C} [X,Y]/ { \left( X^3+Y^3+1 \right) }}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es auf der
\mathl{E_8}{-}Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den
\definitionsverweis {singulären Punkt}{}{}
läuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3+Y^3-3XY
}
{ \in} {K[X,Y]
}
{ \subseteq} { K[X,Y]_{(X,Y)}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Primelement ist, aber nicht im Ring
\mathl{{\mathcal O}_2}{} der holomorphen Funktionen in zwei Variablen. Wie lautet dort die Faktorzerlegung?
}
{} {}