Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {K^3} {K^2
} {(x,y,z)} {(xy,xz)
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {glatten Punkte}{}{}
zur
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
von $\varphi$. Für welche Punkte kann man
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder ${\mathbb C}$} {} {}
den Satz über implizite Abbildungen
anwenden, für welche muss man die
Definition 3.15
heranziehen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Stanley-Reisner-Ideal}{}{} $I_\Delta$ \zusatzklammer {über einem Körper} {} {} zu einem \definitionsverweis {simplizialen Komplex}{}{} ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Stanley-Reisner-Ideal}{}{} $I_\Delta$ \zusatzklammer {über einem Körper} {} {} zu einem \definitionsverweis {simplizialen Komplex}{}{} nur dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn $\Delta$ nur eine \definitionsverweis {Facette}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_\Delta
}
{ \subseteq }{ K[X_v,\, v\in V ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Stanley-Reisner-Ideal}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {simplizialen Komplex}{}{}
$\Delta$ und sei $S$ eine
\definitionsverweis {Seite}{}{}
von $\Delta$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I_\Delta
}
{ \subseteq} { (X_v,\, v \notin S)
}
{ \defeqr} { {\mathfrak p}_S
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige ferner, dass ${\mathfrak p}_S$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
im Polynomring ist und dass es keine Primideale zwischen $I_\Delta$ und ${\mathfrak p}_S$ für
\definitionsverweis {Facetten}{}{}
$S$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Achsenraumkonfiguration}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {singuläre Ort}{}{}
von $V$ ebenfalls eine Achsenraumkonfiguration ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen genau
\mathl{\binom { d+n-1 } { n-1 }}{}
\definitionsverweis {Monome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen genau
\mathl{\binom { d+n } { n }}{}
\definitionsverweis {Monome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq d$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ =} { (X_1 , \ldots , X_n)
}
{ \subseteq} { K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seine
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
${\mathfrak m}^d$. Zeige, dass die Monome
\mathbeddisp {X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n}} {}
{\sum_{i = 1}^n \nu_i < d} {}
{} {} {} {,}
eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n] / {\mathfrak m}^d}{} bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {(X^{\nu_j} , j \in J)
}
{ \subseteq} {K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {monomiales Ideal}{}{.}
Zeige, dass ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann zu $I$ gehört, wenn sämtliche Monome, die in $P$
\zusatzklammer {mit einem Koeffizienten $\neq 0$} {} {}
vorkommen, zu $I$ gehören.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für zwei \definitionsverweis {monomiale Ideale}{}{} \mathkor {} {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak b}} {} in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl $d$ derart, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} ${\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b}$ ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad $\leq d$ besitzt, die beiden Ideale aber nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_n)
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das durch die Variablen erzeugte
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und $f$ ein Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}^s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für jede
\definitionsverweis {formale partielle Ableitung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial X_i } }
}
{ \in} { {\mathfrak m}^{s-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in
\mathl{\Q[X,Y,Z]/(XY,XZ)}{} das Produkt
\mathdisp {{ \left( 3 +3X-5X^2 - 4Y -2Y^2+3Z-Z^3 +YZ-Y^2Z +2YZ^3 \right) } \cdot { \left( -2 +3X-X^3 +Y +Z +5Y^3 -Z^2 -2 YZ +Y^2Z^2 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y]/(XY)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
von $R$. Bestimme eine Formel für die
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak m}^n}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y]/(XYZ)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y,Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
von $R$. Bestimme eine Formel für die
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak m}^n}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X_1 , \ldots , X_n ]/I_\Delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Stanley-Reisner-Ring}{}{}
der Dimension $d$
\zusatzklammer {d.h. die maximale Elementanzahl in einer
\definitionsverweis {Facette}{}{}
von $\Delta$ sei $d$} {} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {homogene}{}{}
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
davon. Vergleiche die Größenordnung der Funktion
\maabbeledisp {} {\N} { \N
} {s} { \dim_{ K } { \left( R/ {\mathfrak m}^s \right) }
} {,}
mit der entsprechenden Funktion für einen Polynomring in $d$ Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungzwei {$R$ hat genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} } {Die Menge der \definitionsverweis {Nichteinheiten}{}{} $R \setminus R^\times$ bildet ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Unterringe}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$, die \definitionsverweis {lokal}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R=K[X_1 , \ldots , X_n]$. Zeige, dass sämtliche \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} von $R$ an \definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{} zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V(XY)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
an $P$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^2-Y^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass sämtliche
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
von $C$ an Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
im Nullpunkt der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V(Y^2-X^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei $S$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden
\definitionsverweis {lokalen Ringe}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei $S=R_{\mathfrak m}$ die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} von $R$ an einem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Restekörper}{}{} von $S$ \definitionsverweis {endlich}{}{} über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn für alle
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre, endlich erzeugte $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} und ${\mathfrak n}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $S$ mit $\varphi^{-1}( {\mathfrak n}) = {\mathfrak m}$. Die Abbildung induziere einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} $R_{\mathfrak m} \rightarrow S_{\mathfrak n}$. Zeige, dass es dann auch ein $f \in R$, $f \not \in {\mathfrak m}$, gibt derart, dass $R_f \rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R/{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $R_{\mathfrak p}$ ist ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S)
}
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Delta$ ein
\definitionsverweis {simplizialer Komplex}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]/I_\Delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Stanley-Reisner-Ring}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ \Delta(K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}_P
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$P$ ist ein
\definitionsverweis {glatter Punkt}{}{}
von
\mathl{\Delta(K)}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R_{ {\mathfrak m}_P}}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{Die Lokalisierung
\mathl{R_{ {\mathfrak m}_P}}{} ist
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V { \left( f_1 , \ldots , f_s \right) }
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {\varphi} {V \cap D(g) } { W
} { \left( x_1 , \ldots , x_n \right) } { \left( x_1 , \ldots , x_n, { \frac{ 1 }{ g(x_1 , \ldots , x_n) } } \right)
} {,}
eine stetige Bijektion mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { V { \left( f_1 , \ldots , f_s , gY-1 \right) }
}
{ \subseteq} { K^{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in der Situation von
Aufgabe 4.32
ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
glatt ist.
}
{} {}
Wir werden später sehen, dass die Glattheit eine intrinsische Eigenschaft des Punktes bzw. des lokalen Ringes ist.