Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
ein
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {kommutativen Monoiden}{}{}
und sei die
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$ auf $M$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\mu
}
{ \sim }{ \nu
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (\mu)
}
{ = }{ \varphi(\nu)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, definiert. Zeige, dass $\sim$
\definitionsverweis {mit der Verknüpfung verträglich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,+,0)}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$. Zeige, dass $\sim$ genau dann
\definitionsverweis {mit der Verknüpfung verträglich}{}{}
ist, wenn es eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\mu
}
{ \sim }{ \nu
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu - \nu
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine \definitionsverweis {Relation}{}{} auf einem \definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{} $M$. Zeige, dass es eine kleinste, \definitionsverweis {mit der Verknüpfung verträgliche}{}{} \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ gibt, die $R$ umfasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{.}
Zeige, dass die von einer einzigen Relation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ \sim }{ \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzeugte
\definitionsverweis {mit der Verknüpfung verträgliche}{}{}
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ folgendermaßen gegeben ist: Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn es eine Kette
\mathdisp {x_1=x , \ldots , x_n=y} { }
gibt, wobei es für jedes $i$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_i
}
{ = }{ r \alpha + \gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_{i+1}
}
{ = }{ r \beta + \gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sim$ eine
\definitionsverweis {mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{.}
Zeige, dass es auf der
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathl{M/\sim}{} eine eindeutig bestimmte Verknüpfung derart gibt, dass die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{}
\maabb {} {M} {M/\sim
} {}
ein
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine Realisierung des Monoids
\mathl{\N^2/ 2e \sim 4f}{} als Untermonoid von
\mathl{\N \times \Z/(2)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} kommutative Monoide. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ =} { { \left\{ n \in N \mid \text{es gibt } k \in \N_+ \text{ mit } kn \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untermonoid von $N$ gegeben ist, das $M$ umfasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines
\definitionsverweis {Untermonoids}{}{}
\mathl{M\subseteq \N^2}{,} das nicht
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( 4 T^{(-1,3)} -6 T^{(-2,5)} + 5T^{(0,-2)} +3 T^{(-1,1)} \right) } \cdot { \left( -7 T^{(1,0)} + 8 T^{(4,5)} -4 T^{(-3,5)} +6 T^{(3,-1)} \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{K[\Z^2]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( 4 T^{0} -9 T^{1} + 9T^{2} +7 T^{3} -4T^4 \right) } \cdot { \left( 4 T^{0} - T^{1} + 5T^{2} +7 T^{3} -T^4 \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{K[ \Z/(5) ]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Multiplikation auf einem \definitionsverweis {Monoidring}{}{} zu einem \definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{} das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein kommutatives
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
und es sei
\mathl{e \in M}{} ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2e
}
{ = }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei
\mathl{K[M]}{} der zugehörige
\definitionsverweis {Monoidring}{}{.}
Zeige, dass $T^e$ ein
\definitionsverweis {idempotentes Element}{}{}
in
\mathl{K[M]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[G]}{} nicht
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, obwohl es in der Gruppe außer $0$ kein Element $e$ gibt, das die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2e
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z^r \times \Z/(n_1) \times \Z/(n_2) \times \cdots \times \Z/(n_s)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{n_1 , \ldots , n_s \in \N_{\geq 2}}{}} {} {}
und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Beschreibe den
\definitionsverweis {Gruppenring}{}{}
\mathl{K[G]}{} durch Variablen und Relationen. Zeige, dass
\zusatzklammer {unter gewissen Voraussetzungen an den Körper} {} {}
das entsprechende
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel
\mathl{V(Z^2-X^2-Y^2)}{} über ${\mathbb C}$ als einen
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
realisieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid $M$ derart, dass eine Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[M]
}
{ \cong} { K[X,Y,U,V]/(UX-VY)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Es sei
\mathl{m \in M}{} und
\mathl{T^m \in K[M]}{.} Zeige, dass $m$ genau dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $M$ ist, wenn $T^m$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in
\mathl{K[M]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M,N$ kommutative Monoide. Zu einem
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
werde der zugehörige
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R[M]} {R[N]
} {}
im Sinne von
Korollar 6.8
mit
\mathl{R[\varphi]}{} bezeichnet. Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungzwei {Zur Identität $\operatorname{Id}_{ M }$ ist auch
\mathl{R[
\operatorname{Id}_{ M }]}{} die Identität.
} {Für eine
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von Monoidhomomorphismen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[ \varphi \circ \psi]
}
{ =} { R[ \varphi] \circ R[ \psi]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{}
und $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Charakterisiere, für welche Teilmengen
\mathl{I \subseteq M}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[I]
}
{ =} { \bigoplus_{m \in I} T^m
}
{ \subseteq} { R[M]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R[M]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Beweise die
$R$-\definitionsverweis {Algebraiso\-mor\-phie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[\Z^n]
}
{ \cong} { R[X_1 , \ldots , X_n]_{X_1 \cdots X_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein kommutatives
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
und sei
\mathl{f \in M}{.} Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_f
}
{ =} { { \left\{ m-nf \mid m \in M , \, n \in \N \right\} } /\sim
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Relation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m-nf
}
{ \sim} { m' -n'f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein $k \in \N$ derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m +n'f + kf
}
{ =} { m' +nf + kf
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $M$ gilt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}{Definiere auf $M_f$ eine Monoidstruktur.
}{Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{T^f \in R[M]}{} das Monom zu $f$ im Monoidring. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[M_f ]
}
{ \cong} { R[M]_{T^f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper $K$ der Ringhomomorphismus
\mathl{K[M] \subseteq K[N]}{} genau dann
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist, wenn es zu jedem
\mathl{n \in N}{} ein
\mathl{k \in \N_+}{} mit
\mathl{kn \in M}{} gibt.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in $R=\R[\Q_{\geq 0}]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( X^2 +4 X^{3/2}-5X+ X^{1/2} \right) } { \left( 2 X^{3/2}+4X-7X^{1/2} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jedes Element $F \in R=K[\Q_{\geq 0}]$
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {}
als ein Polynom in
\mathl{X^{1/b}}{} mit einem
\mathl{b \in \N_+}{} schreiben kann, dass es also ein
\mathl{P \in K[Y]}{} derart gibt, dass
\mathl{F=P(X^{1/b})}{} gilt. Welches Polynom kann man bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {X^{1/2} +X^{1/3} + X^{1/5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nehmen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in $R=K[\Q_{\geq 0}]$ das Element $X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in $R=\R[\Q_{\geq 0}]$ das Element $X^2+1$ nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in $R={\mathbb C}[\Q_{\geq 0}]$ keine \definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im Ring $R=K[\Q]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben mit dem $K$-Spektrum eines kommutativen Monoids $M$, also der Menge aller Monoidhomomorphismen von $M$ nach $K$ \zusatzklammer {mit der multiplikativen Struktur} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das kommutative
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
$M$, das durch die drei Erzeuger
\mathl{e,f,g}{} und die einzige Relation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e+f
}
{ = }{5g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Bestimme das
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
zu $M$ für verschiedene
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein endliches kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Zeige, dass das $K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} zu $M$ auch endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte den Monoidhomomorphismus
\mathdisp {\N^2 \longrightarrow \Z,\, e_1 \longmapsto 1,\, e_2 \longmapsto -1} { . }
Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper $K$) und den zugehörigen $K$-Spektren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten Monoide der Form
\mathl{M=(\Z/(m),+)}{.} Beschreibe
\mathl{K-\operatorname{Spek} \, (K[M])}{} allgemein sowie für die Körper
\mathl{K=\R, {\mathbb C}, \Z/(5)}{.} Finde die idempotenten Elemente von
\mathl{\mathbb C[\Z/(3)]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere Beispiel 5.6 im Kontext von Monoidringen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den $K$-Spektren
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }=\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, (M, K)}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }=\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, (N, K)}{.} Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus
\mathl{\varphi:M \rightarrow N}{} die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M=(\Q,+)}{} die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme
\mathl{\Q\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( \Q[M] \right) }}{.} Wie sieht es aus, wenn man $\mathbb Q$ durch $\mathbb R$ ersetzt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die kommutativen Monoide
\mathl{M=\N^r}{} und
\mathl{N={\mathbb N}^s}{.} Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von $M$ nach $N$ eindeutig durch eine Matrix (mit $r$ Spalten und $s$ Zeilen) mit Einträgen aus $\N$ bestimmt ist.
}
{Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine quadratische $r\times r$-Matrix mit Einträgen aus $\N$ mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung \maabbdisp {\varphi} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\N^r] \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\N^r] \right) } } {,} wobei $K$ ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann $\det (M) \neq 0$ ist, wenn $\varphi$ surjektiv auf eine offene Menge aus $K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\N^r] \right) }$ abbildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {M} {N
} {} ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus
\mathl{K-\operatorname{Spec} \, K[N]}{,} die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt
\mathl{1 \in K-\operatorname{Spek} \,(K[M])}{}
\zusatzklammer {das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung $M \mapsto 1$ entspricht} {} {} abgebildet werden, selbst die Struktur eines $K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M$ und $N$
\definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{}
und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
In welcher Beziehung steht
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M \times N] \right) }}{} zu
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }}{?}
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{} zu einem \definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein kommutatives
\definitionsverweis {Monoid}{}{.}
Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{} eine kommutative
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {G
} {}
in eine Gruppe $G$ gibt es einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\Gamma} {G
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein kommutatives
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
mit zugehöriger
\definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$M$ ist ein
\definitionsverweis {Monoid mit Kürzungsregel}{}{.}
}{Die kanonische Abbildung
\maabb {} {M} {\Gamma(M)} {}
ist injektiv.
}{$M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.
}
}
{} {}