Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homotopie von Wegen}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Menge der
\definitionsverweis {stetigen Wege}{}{}
von $x$ nach $y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen \maabbdisp {\gamma,\delta} {[0,1] } {X } {} durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den \definitionsverweis {Homotopieklassen von Wegen}{}{} führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges $\gamma$ mit Aufpunkt $x$ mit dem konstanten Weg $x$
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zu $\gamma$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
von
\mathkor {} {x} {nach} {y} {}
und sei
\mathl{\gamma^{-1}}{} der umgekehrt durchlaufene Weg, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma^{-1}(t)
}
{ \defeq }{ \gamma(1-t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathl{\gamma \gamma^{-1}}{}
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zum konstanten Weg $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mathl{x \in X}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
von
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
mit Aufpunkt $x$
\definitionsverweis {assoziativ}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {S^1} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von $\gamma$ auf die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mathl{x \in X}{} mit
\mathl{\varphi(x)=y}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
\zusatzklammer {mit Aufpunkt $x$ bzw. $y$} {} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
zu einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\pi_1(X,x)} {\pi_1(Y,y)
} {}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei
\mathl{n \geq 3}{} der
\mathl{\R^n \setminus \{P\}}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige explizit, dass der \definitionsverweis {stetige Weg}{}{} \maabbeledisp {} { [0,2 \pi] } { {\mathbb C}^2 \setminus \{(0,0) \} } {s} { \left( e^{ { \mathrm i} s} , \, 1 \right) } {,} \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {reell-projektiven Raumes}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{\R}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R } { S^1 } {t} { { \left( \cos t , \sin t \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C} } { {\mathbb C}^{\times} = {\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\xi$ eine $n$-te primitive komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Operation der Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_j
}
{ = }{ \begin{pmatrix} \xi^j & 0 \\ 0 & \xi^{-j} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem ${\mathbb C}^2$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (u,v)
}
{ \neq }{ (0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme einen Radius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Bälle
\mathl{U { \left( \varphi_j(P), r \right) }}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {} {\Z} {\Z } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} und \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1} ] \right) } \right) }_{\mathbb C} } { {\mathbb C}^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1} ] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {} die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zwischen den Spektra der \definitionsverweis {Monoidringe}{}{.} Wie sieht die zugehörige Abbildung der \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {lokale Fundamentalgruppe}{}{}
der Kurven
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V { \left( X^a-Y^b \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb C}^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mathl{a,b}{}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R={\mathbb C}[T_1 , \ldots , T_n]/ {\mathfrak a}}{} eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {positiv-graduierte}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
von $R$. Es sei $S= { \left\{ z \in X \mid \Vert {z} \Vert = 1 \right\} }$ die \anfuehrung{Sphäre}{} von $X$
\zusatzklammer {bezüglich der gegebenen Einbettung} {} {.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Homotopieäquivalenz}{}{}
zwischen
\mathkor {} {X \setminus \{0\}} {und} {S} {}
gibt. Man folgere, dass die punktierte Fundamentalgruppe von $R$ gleich der Fundamentalgruppe von $S$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Kontraktion}{}{} des ${\mathbb C}^n$, die von der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{} auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} im Sinne von Lemma 9.5 herrührt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Kontraktion}{}{} des ${\mathbb C}^n$, die von einer \definitionsverweis {positiven Graduierung}{}{} auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} im Sinne von Lemma 9.5 herrührt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf dem ${\mathbb C}^n$
\definitionsverweis {linear operiere}{}{.}
Es sei
\mathl{S={\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n ]^G}{} der zugehörige
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Bahnenraum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}^n \backslash G}{,} versehen mit der
\definitionsverweis {Bildtopologie}{}{}
des
\zusatzklammer {euklidischen} {} {}
${\mathbb C}^n$, mit dem ${\mathbb C}$-Spektrum
\mathl{{\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }}{,} versehen mit der
\definitionsverweis {natürlichen Topologie}{}{,}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $k$ ein Teiler von $\ell$. Definiere eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V { \left( XY-Z^k \right) } } {V { \left( XY-Z^\ell \right) } } {} die mit den Quotientenabbildungen des ${\mathbb C}^2$ verträglich ist. Beschreibe die Abbildung der \definitionsverweis {lokalen Fundamentalgruppen}{}{} unter dieser Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zwischen verschiedenen $ADE$-\definitionsverweis {Singularitäten}{}{} keine \definitionsverweis {Homöomorphien}{}{} geben kann.
}
{Folgere daraus, dass es auch keinen
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{}
zwischen den entsprechenden
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
geben kann.} {}
Zur folgenden Aufgabe siehe auch
Aufgabe 7.28.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{SU}_{ 2 } \!
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf einem
\definitionsverweis {offenen Ball}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { U /G
}
{ \subseteq} {V
}
{ =} { {\mathbb C}^2/G
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige dass die Fundamentalgruppe von
\mathl{W \setminus \{ P \}}{}
\zusatzklammer {wobei $P$ den singulären Punkt des Quotienten bezeichnet} {} {}
gleich $G$ ist.
}
{} {}