Kurs:Syllogismen

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Inhaltsverzeichnis

1 Gegenstand
- 1.1 Strukturen der Syllogismen
- 1.2 Grundlagen der Syllogismen
2 Mengen und Syllogismen
3 Vorbereitung auf die erforderlichen Algebren
4 Algebra der Mengen und der Aussagelogik
- 4.1 Was ist Gleichheit?
- 4.2 Die Gesetze
- 4.3 Potenzielle Möglichkeiten der Belegung
- 4.4 Herleitung einer minimalen Bezugsmenge
5 Logische Werte
- 5.1 Der kleinste Wert
6 Trichotomie
7 Die Negation mit Werten
8 Die Formen mit allen Belegungen
9 Übergang zur Aussagelogik
10 Einstieg in die Aussagelogik
- 10.1 Syllogismen als binäre Verknüpfungen
- 10.2 Beweis der Gültigkeit
- 10.3 Ein Hinweis auf Horn-Klauseln
11 Arithmetisierung der Logik
- 11.1 Berechnung der Negation
- 11.2 Berechnung der Konjunktion
- 11.3 Berechnung der Disjunktion
- 11.4 Berechnung der Tautologie
- 11.5 Berechnung der Kontradiktion
12 Herleitung weiterer Grundfunktionen
- 12.1 Die Identitäten
- 12.2 Die Negationen
- 12.3 Die Implikationen
- 12.4 Die Inhibitionen
- 12.5 Die Antivalenz
- 12.6 Die Äquivalenz
- 12.7 Die Disjunktion
- 12.8 Die Peirce-Funktion oder NOR
13 Zwischenbilanz
14 Normalformen
- 14.1 Ermitteln der disjunktiven Normalform
- 14.2 Ermitteln der konjunktiven Normalorm
- 14.3 Äquivalenz von DNF und KNF
- 14.4 Die antivalente Normalform
15 Shegalkin-Polynome
16 Aufbau
17 Prinzip
18 Arithmetisierung nach Franke
- 18.1 Der 1-0-Übergang
19 Unäre Funktionen
20 Binäre Funktionen
21 Allgemeine Koeffizientenmatrix
22 Eigenschaften der Koeffizientenmatrix
- 22.1 Aufbau der Koeffizientenmatrix
- 22.2 Aufbau der inversen Matrix
23 Selbstähnlichkeit
24 Interdisziplinäre Anwendungen
25 Siehe auch
26 Einzelnachweise
27 Literatur

[Bearbeiten] Gegenstand

Der Kurs behandelt Syllogismen, also Schlussregeln in der Aussagenlogik, welche immer nach dem gleichen Muster aufgebaut sind. Jeweils zwei Prämissen, auch Obersatz und Untersatz genannt, führen zu einer Konklusion.

Der Wikipediaartikel über Syllogismen behandelt die Schlussregeln unter Hervorhebung des philosophischen Charakters: Wesentliche Passagen des dortigen Artikels implizieren nicht leere Mengen und führen so auch zu den schwachen Syllogismen. Diese sind Gegenstand der Philosophie und nicht der axiomatischen Aussagenlogik.

[Bearbeiten] Strukturen der Syllogismen

Syllogismen erlauben Aussagen über Elemente aus Mengen. Die einzelnen Elemente besitzen Eigenschaften, die sie der entsprechenden Menge zugehörig machen. So kann z.B. die Menge aller Autos mit weniger als vier Rädern durchaus als RadAb bezeichnet werden. Auf die Menge aller Fahrzeuge trifft diese Bezeichnung jedoch nur unter größten Vorbehalten zu. Ein Syllogismus verknüpft nun drei Mengen miteinander und gewinnt durch diesen Vorgang eine neue Aussage über die Beziehungen zwischen zwei beteiligter Mengen. Das klassische Beispiel:

Alle Menschen sind sterblich.

Alle Griechen sind Menschen.

Folglich sind alle Griechen sterblich.

In diesem Beispiel wurden die Beziehungen zu der Menge aller Menschen entfernt und durch die Beziehung der Menge aller Griechen und die aller Sterblichen ersetzt. Damit ist auch bereits alles Wesentliche über die Aufgaben von Syllogismen gesagt - es sind Schlussregeln.

[Bearbeiten] Grundlagen der Syllogismen

Allgemein verbinden Syllogismen zwei Aussagen zu einer neuen. Diese Verbindung unterliegt natürlich gewissen Regeln, auf die nun etwas genauer eingegangen wird. Die beiden Aussage werden als Prämissen bezeichnet, die sich ergebende neue Aussage als Konklusion. Damit ist die Aufgabe der Syllogismen bereits über die Namensgebung der beteiligten Elemente deutlich; es handelt sich um eine Schlussregel.

Nun ist es eine Besonderheit der Syllogismen, ausschließlich mit der Bildung von Teilmengen zu arbeiten. Der Mittelbegriff M wird entfernt und eine neue Aussage wird erzeugt. Die beiden ursprünglichen Aussagen sind prädikativ und werden Prämissen genannt, die Schlussaussage ist natürlich ebenfalls prädikativ und wird Konklusion genannt. Der Mittelbegriff tritt in beiden Prämissen als Subjekt oder als Prädikat auf. In der Konklusion fehlt er. Die Konklusion enthält also nur die nicht gemeinsamen Satzteile als Subjekt bzw. Prädikat.

Die Prämissen und die Konklusion basieren auf vier elementaren Aussageformen, die einfach Formen genannt werden. Es sind:

Form	sprachliche Aussage
`S``a``P`	alle S sind P
`S``i``P`	einige S sind P
`S``e``P`	kein S ist P
`S``o``P`	einige S sind nicht P

Insgesamt existieren vier Möglichkeiten die Satzteile zweier Prämissen anzuordnen. Dabei werden Subjekt S und Prädikat P mit einem Mittelbegriff so verknüpft, dass der Mittelbegriff für den Schlusssatz (Konklusion) überflüssig wird. Diese verschiedenen Anordnungen werden gemeinhin als Figuren bezeichnet und sind in folgender Tabelle aufgelistet.

Dabei stehen x, y, und z für die jeweilige Relation oder Form. Weil alle hier verwendeten Formen auf die Bestimmung von Teilmengen hinauslaufen, bleiben als Variationsmöglichkeiten nur Positionen der Mengen. Es ergeben sich vier Kombinationen, die als Figuren bezeichnet werden.

	Figur-1	Figur-2	Figur-3	Figur-4
Prämisse-1	M x P	P x M	M x P	P x M
Prämisse-2	S y M	S y M	M y S	M y S
Konklusion	S z P	S z P	S z P	S z P

Die Zeichen x, y und z stellen eine der Formen a, i, e oder o dar, womit sich für eine Figur insgesamt $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ Möglichkeiten ergeben. Die Möglichkeiten aller Figuren belaufen sich demnach also auf insgesamt $64 \cdot 4 = 256$ . Es existieren tatsächlich 256 Syllogismen, allerdings lassen nur 19 logisch einwandfreie Aussagen zu und bilden die Modi der klassischen Logik. Diese 19 Syllogismen erhielten Namen, um darin die Regeln zu codierten.

Die Altvorderen ersannen einen Satz, der eben diese Namen enthält und gleichzeitig den entsprechenden Figuren zuordnet. Die betonten Vokale der Namen geben die Folge der Formen (a, i, e, o) an.

Barbara, Celarent, Darii, Ferioque, prioris

Cesare, Camestres, Festino, Baroco, secundae

tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison habet

quarta insuper addit Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison

Übersetzt bedeutet es:

Barbara, Celarent, Darii, Ferio, sind der Ersten (Figur zugehörig)

Cesare, Camestres, Festino, Baroco, gehören zur Zweiten (Figur)

die Dritte (Figur) hat Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison

die Vierte (Figur) fügt außerdem hinzu(:) Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison

Das Beispiel der sterblichen Griechen ist also die Anwendung des Modus barbara auf die Mengen Menschen, Sterbliche (Menschen) und (menschliche) Griechen gewesen.

Es sollte noch kurz auf die Namensgebung der Formen selbst eingegangen werden. Sie haben ihre Wurzeln ebenfalls im Lateinischen und sind einfach die Vokale der Worte: affirmo, nego. Mit den Bedeutungen affirmo für bejaend und nego für verneinend. So ist eine o-Aussage die Verneinung einer a-Aussage und eine i-Aussage die Verneinung einer e-Aussage.

Aussage	Original	Verneinung
alle S sind P	`S``a``P`	`S``o``P`
kein S ist P	`S``e``P`	`S``i``P`
einige S sind P	`S``i``P`	`S``e``P`
einige S sind nicht P	`S``o``P`	`S``a``P`

Die Modi werden jetzt in tabellarischer Darstellung noch den Figuren zugeordnet, womit ein erster Überblick erreicht ist.

Figur	Namen der Modi	bereinigte Modi
1	Barbara, Celarent, Darii, Ferio	aaa, eae, aii, eio
2	Cesare, Camestres, Festino, Baroco	eae, aee, eio, aoo
3	Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison	aai, iai, aii, eao, oao, eio,
4	Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison	aai, aee, iai, eao, eio

Von entscheidender Wichtigkeit hinsichtlich der Übertragbarkeit vorhandener Systeme auf Syllogismen ist die Zuordnung bestimmter Tripels zu den Figuren. Eine Figur ordnet praktisch die ersten beiden Formen (die Prämissen) so um einen Mittelbegriff, dass eine korrekte Konklusion allein aus Subjekt und Prädikat herauskommt.

Figur1	Figur2	Figur3	Figur4
aaa
	aoo
		oao
eae	eae
aii		aii
	aee		aee
		aai	aai
		eao	eao
		iai	iai
eio	eio	eio	eio

[Bearbeiten] Mengen und Syllogismen

Sämtliche Aussagen, seien es Prämissen oder Konklusionen, in Syllogismen beziehen sich auf Elemente von Mengen. Immer wenn Mengen miteinander in Beziehung gebracht weden, sind Mengenrelationen beteiligt. Es sich prinzipiell um die Klärung der Frage, ob Elemente der einen Menge auch einer anderen zugehörig sind. Derartige Fragen werden über die Bildung von Teilmengen geklärt. Das Beispiel kann nun von der natürlichen Sprache in die Mathematik überführt werden. Wieder wird das Beispiel der sterblichen Menschen aus Griechenland herangezogen.

Prämisse-1: Alle Menschen sind sterblich.
Prämisse-2: Alle Griechen sind Menschen.
Konklusion: Alle Griechen sind sterblich.

Mit den Abstraktionen

M = Menge aller Menschen.

S = Menge all Dessen was sterblich ist.

G = Menge aller Griechen mit der Eigenschaft Menschen zu sein.

Können die beiden Prämissen auch als

Prämisse-1 legt fest, dass M eine Teilmenge von S ist.
Prämisse-2 legt fest, dass G eine Teilmenge von M ist.

formuliert werden. Und es kann gleich in einer etwas mathematischeren Schreibeise weiter abstrahiert werden zu:

aus $M \subseteq S$

und $G \ \subseteq M$

folgt $G \; \subseteq S$

Die Konklusion wird hier über die Konjunktion der beiden Prämissen gewonnen. Sie liefern jedoch nur einfache Wahreitswerte im Sinne von "stimmt / stimmt nicht", "ja / nein" oder "wahr / falsch". Bis jetzt kann nur mit den Mitteln der Aussagelogik die Konklusion ermittelt werden. Damit wird aus dem Modus Barbara:

$\left( \left( M \subseteq S \right) \and \left( G \subseteq M \right) \right) \Rightarrow \left( G \subseteq S \right)$

Ob diese Formulierung korrekt ist, kann nur über einen Beweis erfolgen. Um diesen Beweis zu führen, nuss noch viel über die Syllogismen in Erfahrung gebracht werden. Die folgenden Punkte werden den erforderlichen Erfahrungsschatz liefern.

[Bearbeiten] Vorbereitung auf die erforderlichen Algebren

Als Erstes werden die Formen und die entsprechenden Mengenrelationen einander gegenübergestellt. Die folgende Tabelle zeigt die drei Bedeutungen:

Form	sprachliches Äquivalent	Mengenrelation
SaP	alle S sind P	$S \subseteq P$
SiP	einige S sind P	$\neg \left( S \subseteq \neg P \right)$
SeP	kein S ist P	$S \subseteq \neg P$
SoP	einige S sind nicht P	$\neg \left( S \subseteq P \right)$

Auffällig sind Formulierungen wie alle, einige oder kein. Die Aussagen betreffen entweder die Mengen als Gesamtheit oder die Elemente als Partikel.

a ist allgemein bejahend

e ist allgemein verneinend

i ist partikulär bejahend

o ist partikulär verneinend

Bei den Formen wird kein Wert im Sinne einer Zahl oder Anzahl benötigt. Es werden nur Feststellungen über alle oder zumindest einige Elemente getroffen. Derartige Aussagen haben in der Mathematik die Bezeichnung Quantoren.

$\forall$ ist ein Quantor der alle Elemente meint.

$\exists$ ist ein Quantor der einige Elemente meint.

Wenn nur einige Elemente gemeint sind, dann ist die kleinste denkbare Anzahl 1, somit die Existenz mindestens eines Elements. Die Formen lassen sich weiter umformulieren und die ersten Schritte zur Prädikatenlogik sind gemacht:

Form	sprachlich	prädikativ
SaP	alle (Elemente x aus) S sind (Elemente von) P	$\forall x \| x \in S \and x \in P$
SeP	kein (Element x aus) S ist (Element von) P	$\forall x \| x \in S \and x \notin P$
SiP	es existiert mindestens ein Element in S, das auch in P ist	$\exists x \| x \in S \and x \in P$
SoP	es existiert mindestens ein Element in S, das nicht in P ist	$\exists x \| x \in S \and x \notin P$

Offenbar ist immer nur die zweite Menge von Nichtenthaltensein betroffen. Eine andere sprachliche Variante der Ausdrücke nennt die Menge S auch Subjekt und die Menge P Prädikat. Prinzipiell ist diese Bezeichnung zwar erst in den Figuren erlaubt, aber sie tritt bei jeder Figur in der Konklusion auf.

Es kann also zunächst festgehalten werden, dass die Formen immer rein subjektive Ausdrücke darstellen, denn die Menge S dient als Quelle der zu betrachtenden Elemente.

Diese Subjektivität ist aus den ersten Auflistungen nicht sofort ersichtlich, zumal an den Mengenrelationen auch negierte Mengen beteiligt sind. Eine negierte Menge besitzt verblüffende Eigenschaften, hinsichtlich ihrer Elemente. Angenommen die Menge S ist {1, 2, 3, 4} und die Aussage SeP behauptet, dass kein Element aus S in P sei. Was kann dann mit Sicherheit über die Menge P gesagt werden?

Diese Menge enthält zweifellos alle im letzen Jahr geplatzten Reifen und natürlich auch alle Zeitungsenten und noch eine ganze Anzahl weiterer Elemente. Es wäre müßig, die Elemente aus P aufzuzählen. Von der Menge P kann nur eine sinnvolle Aussage gemacht werden, nämlich dass P genau die Elemente aus S nicht enthält.

Immer wenn das Negationszeichen vor einer Menge steht, kann nur auf Elemente geschlossen werden, die nicht in ihr enthalten sind. Keinesfalls kann eine Aussage über den Inhalt als Ganzes gemacht werden. Ein Beispiel mit bekannten Mengen wird etwas mehr Klarheit bringen.

Welche Menge ergibt sich aus der Negation von $\Z$ ? Spontan wird die Antwort wohl auf die "Menge der gebrochenen Zahlen" hinauslaufen. Der Beweis steht allerdings noch aus. Ein wenig präziser muss die Frage aber noch formuliert werden.

Keine der bekannten Zahlenmengen erfüllt $\neg \Z$ eindeutig. Es wurde noch nicht einmal verlangt, dass es sich überhaupt um eine Zahlenmenge handeln soll. Hier wird jetzt diese Einschränkung getroffen. Auch das ist noch nicht ausreichend. Die Forderung wird weiter eingeschränkt und es wird nach der kleinst möglichen Zahlenmenge $\neg \Z$ gesucht, die aus den vorhandenen Zahlenmengen gebildet werden kann.

Damit müssen erst einmal die möglicherweise beteiligten Zahlenmengen und deren Hierarchie betrachtet werden. Es sind

$\N \subset \Z \subset \mathbb Q \subset \R$

Die nächst mächtigere Zahlenmenge von $\Z$ ist $\mathbb Q$ und deshalb werden auch diese beiden Mengen etwas näher betrachtet. Zweifellos ist jedes Element der ganzen Zahlen auch in der Menge der rationalen Zahlen enthalten.

Es ist die Form $\Z \, \mathbf{a} \, \mathbb Q$ vorhanden und somit ist $\forall x | x \in \Z \and x \in \mathbb Q$

Umgekehrt sind einige (natürlich sind es unendlich viele) Elemente aus $\mathbb Q$ auch in $\Z$ vorhanden. Interessant ist nun die Frage, welche Elemente. Diese Frage entspricht der Form

$\mathbb Q \, \mathbf{i} \, \Z$ und damit $\exists x | x \in \mathbb Q \and x \in \Z$

Unter den gemachten Voraussetzungen ist $\neg \Z$ die Zahlenmenge, die $\Z$ zunächst enthält und von der dann $\Z$ entfernt wurde. Die Menge ist also einfach

$\mathbb Q \setminus \Z$

Jetzt ist auch sichergestellt, dass $\mathbb Q$ keine Teilmenge von $\mathbb Q \setminus \Z$ ist. Nichts anderes als $\neg \left( S \subseteq \neg P \right)$ wird in der Mengenrelation verlangt. Die Negation einer Menge ist gelungen.

Bei der Negation der ganzen Zahlen handelt es sich tatsächlich um die Menge aller Brüche ohne den trivialen Nenner 1.

Zugegeben, ein sehr mühsamer und beschwerlicher Weg, aber für die Existenz von Modi wie darapti unbedingt erforderlich.

Eine sehr wichtige Feststellung wurde im vorletzten Absatz getroffen. Die Umkehrung einer Form. Es ist bemerkenswert, dass die Form SiP die Umkehrung von SaP ist und SoP die Verneinung von SaP. Eine Tabelle schafft immer etwas Übersicht und deshalb folgt hier eine mit Umkehrungen, Verneinungen und Synonymen der Formen.

Aussage	Original	Umkehrung	Synonym	Negation
alle S sind P	`S``a``P`	`P``i``S`	`S``e``¬P`	`S``o``P`
kein S ist P	`S``e``P`	`P``e``S`	`S``a``¬P`	`S``i``P`
einige S sind P	`S``i``P`	`P``i``S`	`S``o``¬P`	`S``e``P`
einige S sind nicht P	`S``o``P`		`S``i``¬P`	`S``a``P`

Eine Umkehrung der o-Form ist sinnlos. Der Vollständigkeit halber wurde zur Umkehrung noch ein Synonym angegeben, das die zweite Menge in negierter Form enthält. Erwähnenswert ist hier nur das Synonym von SiP, das besagt: “Einige S sind nicht (o-Form) nicht P (P-Negation)”. Es handelt sich um eine doppelte Negation, die einfach entfallen kann, wie die ursprüngliche i-Form ja auch aussagt.

[Bearbeiten] Algebra der Mengen und der Aussagelogik

Grundlage der Syllogismen sind die De Morganschen Gesetze, die keinesfalls auf die Aussagelogik begrenzt sind. Die Anwendung dieser Gesetze innerhalb der Mengentheorie wird der Anwendung in der Aussagelogik gegenübergestellt. Zunächst müssen die vorkommenden Argumente und ihre möglichen Belegungen definiert werden. Dabei wird von einer Bezugsmenge M ausgegangen, das als Menge aller möglichen Belegungen der Argumente (A, B) dient. Wer sich lieber rein sprachlich orientiert, mag den Begriff "Kontext" (nicht zu verwechseln mit Konsens) als entsprechende Assoziation verwenden.

Aufgabe:: Frage zum Mittelbegriff. Parallelen zu Z und Q

Nun können die möglichen Argumentinhalte festgelegt werden. Dabei wird der sprachliche Gehalt nicht unbedingt auf mathematische Korrektheit festzulegen sein.

Sprachlich	Mengentheorie	Aussagelogik
A ist ...	$A \subseteq W$	$A \subseteq W$
A ist nicht ...	$\neg A = \left( W \setminus A \right)$	$\neg A = \left( W \setminus A \right)$

Das scheint ja nicht gerade schwierig zu sein. Die Negation von A ist gleich der Menge, die übrig bleibt wenn aus der Bezugsmenge A entfernt wird. Stimmt das? Liegt dann Gleichheit vor?

[Bearbeiten] Was ist Gleichheit?

Die Mathematik hat sich mit der Definition des Gleiheitsbegriffs schwer getan. Die sehr allgemeine Fassung von Gleichheit lautet:

$\left( A=B \right) \Leftrightarrow \neg \left( A \subset B \right) \and \neg \left( B \subset A \right)$

Hier steht, dass A nicht echte Teilmenge von B ist und B nicht echte Teilmenge von A ist. Wird die Negation der beiden Terme durchgeführt, lautet die Gleichheitsrelation:

$\left( A=B \right) \Leftrightarrow \left( A \supseteq B \right) \and \left( B \supseteq A \right)$

Eine kleine Äquivalenzumformung führt dann zu der allgemein bekannten Relation:

$\left( A=B \right) \Leftrightarrow \left( A \subseteq B \right) \and \left( B \subseteq A \right)$

Das sieht doch sehr nach einem Syllogismus aus.

Aufgabe:: Bestimmen des Syllogismus.

[Bearbeiten] Die Gesetze

Bis jetzt sind keine Unterschiede der beiden Gebiete zu erkennen. Störend mag die Konjunktion in der Definition von Gleichheit sein, aber auch sie wird nun näher betrachtet. Erst einmal die Aussagelogik von der Mengenalgebra getrennt.

Operation	Mengentheorie	Aussagelogik
Konjunktion	$\left(A \cap B \right) \subseteq M$	$A \and B$
Disjunktion	$\left(A \cup B \right) \subseteq M$	$A \or B$

Damit in den folgenden Ausführungen nicht immer der Zusatz "ist Telmenge der Bezugsmenge" angegeben werden muss, wird diese Tatsache hier erwähnt und in Zukunft einfach weggelassen. Der gute Wille sei nun bei allen Interessierten vorausgesetzt. Die Gegenüberstellung vereinfacht sich so zu

Operation	Mengentheorie	Aussagelogik
Konjunktion	$A \cap B\$	$A \and B$
Disjunktion	$A \cup B\$	$A \or B$

In beiden Systemen müssen Gesetze existieren, die Kombinationen der Operatoren zulassen und so den Aufbau von Termen gestatten. Die drei elementarsten Gesetze sind Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. In der folgenden Tabelle sind alle wesentlichen, auch die De Morganschen, Gesetze, vertreten.

Idempotenz	Menge	$A \cap A = A\$	$A \cup A = A$
Idempotenz	Logik	$A \and A = A$	$A \or A = A$
Kommutativ	Menge	$A \cap B = B \cap A\$	$A \cup B = B \cup A$
Kommutativ	Logik	$A \and B = B \and A$	$A \or B = B \or A$
Assoziativ	Menge	$A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C$	$A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C$
Assoziativ	Logik	$A \and \left( B \and C \right) = \left( A \and B \right) \and C$	$A \or \left( B \or C \right) = \left( A \or B \right) \or C$
Distributiv	Menge	$A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)$	$A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)$
Distributiv	Logik	$A \and \left( B \or C \right) = \left( A \and B \right) \or \left( A \and C \right)$	$A \or \left( B \and C \right) = \left( A \or B \right) \and \left( A \or C \right)$
De Morgan	Menge	$\neg \left(A \cap B \right) = \neg A \cup \neg B$	$\neg \left(A \cup B \right) = \neg A \cap \neg B$
De Morgan	Logik	$\neg \left(A \and B \right) = \neg A \or \neg B$	$\neg \left(A \or B \right) = \neg A \and \neg B$
Doppelnegation	Menge	$\neg \neg A = \neg \left( \neg A \right) = A$
Doppelnegation	Logik	$\neg \neg A = \neg \left( \neg A \right) = A$

Es scheint keinen Unterschied zwischen der Mengentheorie und der Aussagelogik zu geben, wenn in beiden Fällen von einer diskreten, zweielementigen Bezugsmenge ausgegangen wird. Die Doppelnegation ist jedoch ein Punkt, der oft auf Probleme stößt, insbesonders wenn die eben erwähnte Bezugsmenge als Grundlage dient. Hier muss noch weiter untersucht werden.

Mit

$M = \left\{ wahr, \, falsch \right\} ; \ A = \left\{ wahr \right\}$

ergibt sich die Negation aus

$\begin{align} \neg A & = M \setminus A\\ & = \left\{ wahr, \, falsch \right\} \setminus \left\{ wahr \right\}\\ & = \left\{ falsch \right\} \end{align}$

Die Negation einer Aussage macht offenbar keinerlei Probleme. Aber oft muss eine negierte Aussage negiert werden, was einer doppelten Negation gleichkommt. Unter den gleichen Voraussetzungen ergibt sich nun

$\begin{align} \neg \neg A & = \neg \left ( \neg A \right ) \\ & = M \setminus \left ( \neg A \right )\\ & = M \setminus \left\{ M \setminus A \right\}\\ & = \left\{ wahr, \, falsch \right\} \setminus \left\{ \left\{ wahr, \, falsch \right\} \setminus \left\{ wahr \right\} \right\}\\ & = \left\{ wahr, \, falsch \right\} \setminus \left\{ \left\{ falsch \right\} \right\}\\ & = \left\{ wahr \right\} \end{align}$

Auch hier sollten nun keine Probleme mehr bestehen. Aber eine interessante Möglichkeit eröffnet sich. Die vorhandene Bezugsmenge kann noch weiter eingeschränkt werden. Es umfasst zwar die Elemente wahr und falsch, aber mathematisch ausreichend ist es wenn überhaupt nur zwei Möglichkeiten zur verfügung stehen. Die hier verwendete Bezugsmenge bietet aber mehr Möglichkeiten eine Variable wie A zu belegen, auch wenn sie nicht sofort ersichtlich sind.

AUFGABE: Finden aller Belegungen.

[Bearbeiten] Potenzielle Möglichkeiten der Belegung

Alle Möglichkeiten der Belegung einer Variablen bezogen auf eine Menge entspricht der Frage was potenziell sein kann. Das ist nichts weiter als die Ermittlung der Potenzmenge. Die Potenzmenge P einer Menge M ist die Menge aller möglichen Teilmengen.

$P \left(M\right)=P \left( \left\{ wahr, \, falsch \right\}\right)= \left\{ \left\{ \right\}, \, \left\{ wahr \right\}, \, \left\{ falsch \right\}, \, \left\{ wahr, \, falsch \right\} \right\}$

Alle diese Möglichkeiten stehen bereit. Um Fehlbelegungen zu verhindern müssen also stets Vereinbarungen getroffen werden. Wünschenswert ist eine Übereinstimung von möglichen Belegungen mit den Elementen aus der Potenzmenge der Bezugsmenge.

Aufgabe:: Wieviele Elemente darf die Potenzmenge haben, um eine duale Logik zu ermöglichen?

Hier wird deutlich, warum eine Aussagelogik mit der Bezusmenge M = { wahr, falsch } die Operanden normieren muss. Wird das Element falsch mit 0 und ds Element wahr mit 1 assoziiert, liegt eine Normierung vor. Die Potenzmenge stellt aber zu viele Möglichkeiten bereit, weshalb die Auswahl auf die zwei genannten begrenzt werden muss.

[Bearbeiten] Herleitung einer minimalen Bezugsmenge

Sprachliche Assoziationen zu Gegebenheiten in der Mathematik sollten möglichst ebenso knapp gehalten werden wie es die Mathematik ermöglicht. Dafür müssen oft viele Definitionen gemacht werden. Hier verhält es sich nicht anders, wie die bisher gemachten Ausführungen zeigen. Jedoch soll jetzt der Weg einmal umgekehrt werden. Prinzipiell genügen nur zwei Festlegungen, um die Bezugsmenge zu spezifizieren.

Die Wertemenge enthält alle Elemente die eine Aussage annehmen kann.
Für alle Aussagen gilt, dass sie entweder wahr oder nicht wahr sind.

Zu beachten ist hier, dass der Begriff "falsch" mit "nicht wahr" umschrieben wird. Die Verndung des Begriffs "falsch" ist in der Mathematik äußerst heikel, denn es sagt nichts anderes aus als die Verneinung von "wahr".

In dieser Spezifikation ist nur ein Wert sprachlich assoziiert, es ist "wahr". Dieses Element wird also in der Bezugsmenge vorhanden sein.

Sei

$M = \left\{ wahr \right\}$

dann ist

$P \left(M\right)=P \left( \left\{ wahr \right\}\right)= \left\{ \left\{ \right\}, \, \left\{ wahr \right\} \right\}$

Die möglichen Belegungen sind nun mit der Potenzmenge von M "abgesichert". Damit gilt für Variablen

$\left(\left(A \subseteq M \right) \and \left(M \subset P \left( M \right) \right) \right) \Rightarrow \left(A \subset P \left( M \right) \right)$

Die Mengenrelationen "Teilmenge und echte Teilmenge sind sehr wichtig. Es ist stets gegeben, dass eine Menge M nur echte Teilmenge seiner Potenzmenge ist. Daraus folgt unmittelbar, dass jede Teilmenge von M echte Teilmenge der Potenzmenge von M ist. Eigentlich trivial, aber eben sehr wichtig für die weiteren Ausführungen. In jedem Fall sind die aufgestellten Forderungen erfüllt, es gibt keine weiteren Möglichkeiten zur Belegung.

Aufgabe:: Was kann über die Mächtigkeiten (Beträge) der beteiligten Mengen gesagt werden?

Mengen haben die grundsaätzliche Eigenschaft der Mächtigkeit. Ohne die Elemente zu betrachten, steht diese Eigenschaft immer bereit. Wird also eine einelementige Bezugsmenge wie M = { wahr } benutzt, ergibt sich die Normierung direkt aus den Beträgen. Als angenehmer Nebeneffekt ergibt außerdem, dass die Potenzmengenur güötige Möglichkeiten zur Auswahl enthält.

[Bearbeiten] Logische Werte

Werte sind verbunden mit Größen. Für den Umgang mit diesen beiden Begriffen wurde die Arithmetik "erfunden". In diesem Abschnitt wird der "berechnende" Umgang mit logischen Werten besprochen. Es werden die Grundlagen geschaffen wie auch komplexe Ausdrücke der Aussagenlogik einfach berechnet werden können. Parallel werden die aufgestellten Gesetze bewiesen.

[Bearbeiten] Der kleinste Wert

„Klein“ muss auf irgend etwas bezogen sein. Dieser Begriff hat nur Sinn, wenn er einen Maßstab besitzt. So könnte "klein im Verhältnis zu ..." ein derartiger Bezug sein. Jedoch ist diese Formulierung gefährlich denn sie verlangt nach der Division (Verhältnis). Wenn "klein" mit 0 (Null) assoziiert ist, ist ein Verhältnis sinnlos. Besser, weil unverfänglicher, ist die Formulierung "klein bezogen auf ...".

Den einzige Bezug stellt die Bezugsmenge dar. Sie hat die Kardinalität (Mächtigkeit) 1, denn sie enthält genau ein Element. Statt Kardinalität kann auch "Betrag" benutzt werden. Das hat außerdem den Vorteil, eine Formulierung zu besitzen.

$M=\left\{wahr\right\}; \;|M|=1$

Jede Variable kann entweder das Element "wahr" enthalten, oder sie ist leer. Im ersten Fall entspricht ihr Betrag dem der Bezugsmenge, also 1. Ist sie leer, enthält also kein Element, so gilt

$A=\left\{ \right\}; \;|A|=0$

Trotzdem ist sie Teilmenge der Bezugsmenge, denn die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

$\begin{align} A=\left\{ \right\}; & \; A \subseteq M \\ A=\left\{ wahr \right\}; & \; A \subseteq M \end{align}$

Der kleinste Wert ist also 0, der größte 1.

[Bearbeiten] Trichotomie

Jetzt ist ein echter Größenvergleich von Aussagen möglich. Weil jede Aussage einer Menge mit genau einem Element aus der Potenzmenge der Bezugsmwenge ist, gibt es nur die beiden Beträge 0 und 1. Weil 0 der Betrag einer leeren Menge ist, gilt zweifellos dass eine leere Menge kleiner als eine nicht leere ist.

$\begin{align} A=\left\{ \right\}; \; B=\left\{ \right\}; \; A=B \or A \leq B \\ A=\left\{ \right\}; \; B=\left\{ wahr \right\}; \; A<B \or A \leq B \\ A=\left\{ wahr\right\}; \; B=\left\{ \right\}; \; B<A \or B \leq A \\ A=\left\{ wahr\right\}; \; B=\left\{ wahr \right\}; \; B=A \or B \leq A \end{align}$

Statt den willkürlichen Zuordnungen "falsch=0" und "wahr=1" herrscht jetzt Gewissheit. Nun können die Formen der Syllogismen mit allen Belegungen dargestellt werden, die für die Aussagenlogik relevant sind.

[Bearbeiten] Die Negation mit Werten

Die Negation ist nun eine Subtraktion. Sie war es zwar bereits in der reinen Mengenalgebra über die Bildung der Differenzmenge, aber jetzt knn sie arithmetisch formuliert werden.

$\neg A=|M|-|A| = 1 - |A|$

Weil der Betrag der Menge A entweder 0 oder 1 ist, liegt die erste arithmetische Formulierung in dem neuen Zusammenhang vor. Es werden weitere folgen, aber zunächst müssen die Formen der Syllogismen komplettiert werden.

[Bearbeiten] Die Formen mit allen Belegungen

Es genügt, die vier Formen einach in Tabellen darzustellen und ihre Aussagen zu bestätigen. Wichtig: $S, \, P \subseteq \left\{wahr\right\}$

Die Form SaP behauptet:

Alle Elemente aus S sind auch in P.
$S \subseteq P$

SaP
$\,S\,$	$\,P\,$	$S \subseteq P$	$s \,=\, \|S\|$	$p \,=\, \|P\|$	$s \,\leq \, p$
$\left\{\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,0\,$	$\,0\,$	$\,1\,$
$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,1\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{ \right\}$	$\,1\,$	$\,0\,$	$\,0\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,1\,$	$\,1\,$	$\,1\,$

Die Behauptung ist richtig, denn wenn S Teilmenge von P ist, dann muss die Mächtigkeit von S kleiner oder gleich der von P sein.

Die Form SoP behauptet:

Einige Elemente aus S sind nicht in P.
$\neg \left(S \subseteq P\right)$

SoP
$\,S\,$	$\,P\,$	$\neg \left(S \subseteq P\right)$	$s \,=\, \|S\|$	$p \,=\, \|P\|$	$\neg \left(s \,\leq \, p\right)$
$\left\{\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{\right\}$	$\,0\,$	$\,0\,$	$\,0\,$
$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,0\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,1\,$	$\,0\,$	$\,1\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\,1\,$	$\,1\,$	$\,0\,$

Die Behaupting ist richtig, denn wenn einige Elemente aus S nicht in P sind, dann muss die Mächtigkeit von S größer der von P sein.

Die Form SeP behauptet:

Kein Element aus S ist in P.

$S \subseteq \neg P$

SeP
$\,S\,$	$\,P\,$	$S \subseteq \neg P$	$s \,=\, \|S\|$	$p \,=\, \|\neg P\|$	$\neg \left(s \,\leq \, p\right)$
$\left\{\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,1\,$
$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,0\,$	$\,0\,$	$\,1\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,1\,$	$\,1\,$	$\,1\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\,1\,$	$\,0\,$	$\,0\,$

Die Behauptung ist richtig, denn wenn kein Element aus S in P ist, dann muss S Teilmenge der negierten Menge P sein.

Die Form SiP behauptet:

Einige Elemente aus S sind in P.

$\neg \left(S \subseteq \neg P\right)$

SiP
$\,S\,$	$\,P\,$	$\neg \left(S \subseteq \neg P\right)$	$s \,=\, \|S\|$	$p \,=\, \|\neg P\|$	$\neg \left(s \,\leq \, p\right)$
$\left\{\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{\right\}$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,0\,$
$\left\{\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\,0\,$	$\,0\,$	$\,0\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{\right\}$	$\left\{\right\}$	$\,1\,$	$\,1\,$	$\,0\,$
$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\left\{wahr\right\}$	$\,1\,$	$\,0\,$	$\,1\,$

Die Behauptung ist richtig, denn wenn Einige Elemente aus S in P sind, dann kann S nicht Teilmenge der negierten menge P sein.

Offensichtlich sind in den jeweils rechten Spalten der Tabellen die einfachen, gewohnten Darstellungen mit 0 und 1 vorhanden. Für die Aussagelogik genügt diese Darstellung, zumal ja die Korrektheit dieser Belegung der Variablen in den vorherigen Abschnitten bewiesen wurde.

So können die Formen der Syllogismen in die Aussagelogik überführt werden. Dabei darf niemals vergessen werden, dass es sich um Mengen unterschiedlicher Mächtigkeiten handelt. Es ist jetzt eine Abstraktion vorhanden, die Wahrheiten auf Beträge zur arithmetischen Bearbeitung reduziert.

Eine abschließende Tabelle zeigt die vereinfachte Darstellung der Formen und eröffnet den Einstieg in die Aussagelogik. Statt der Mengenrelationen sind die offensichtlichen logischen Funktionen gleich eingesetzt.

SaP			SoP			SeP			SiP
S	P	$S \,\leq \, P$	S	P	$S \,> \, P$	S	P	$\neg \left(S \,\and \, P \right)$	S	P	$S \,\and \, P$
0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	1

Damit stehen vier logische Funktionen als Synonyme der vier Formen fest. Es sind:

SaP = $\neg S \or P$ Implikation
SoP = $S \and \neg P$ Inhibition
SeP = $\neg \left( S \and P \right)$ Nicht-Und (NAND)
SiP = $S \and P$ Konjunktion (AND)

Aufgabe:

Wie werden die Werte der möglichen Aussagen ermittet?
Welche(s) Kriteri(en/um) der beteiligten Mengen wird/werden für die Ermittlung der Werte herangezogen?

[Bearbeiten] Übergang zur Aussagelogik

Intime Kenner der Boolschen Algebra werden nun sofort erkennen, dass sich aus diesen Funktionen genau 16 mögliche Verknüpfungen (also 12 weitere) ergeben. Der Vollständigkeit halber sei hier das (vollständige) System zweier Wahrheitswerte dargestellt und die Positionen der vier Formen gekennzeichnet.

S	P	Beträge der möglichen Verknüpungen
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Nr.		`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`
Form			i	o											a	e

Sehr schön zu erkennen ist die Symmetrie in den Positionen der Formen.

Aufgabe:

Ist die Tabelle vollständig?

Hinweis: Nicht die Anzahl der möglichen Verküpfungen ist gemeint.

[Bearbeiten] Einstieg in die Aussagelogik

Die jetzt herausgearbeiteten Formen, mit den Beträgen (Mächtigkeiten) der minimalen Mengen, ist die Basis für die vielen Programme zur sog. regelbasierten künstlichen Intelligenz. Die Sprache Prolog (PROgramming in LOGic) ist wohl der populärste Vertreter.

In den folgenden Abschnitten werden die gültigen Syllogismen (Schlussregeln) benutzt, um die Aussagelogik zu beweisen. Danach werden die Grundlagen für allgemeine Beweissysteme gelegt. So wird das Verständnis der deklarativen Programmierung direkt über die zugrunde liegenden Horn-Klauseln erleichtert.

Die bekannten Probleme bei der Aufstellung der erforderlichen Axiome und der darauf basierenden Beweise bildet den Abschluss. Ein möglicher Ausweg wird ebenfalls skizziert, jedoch ist die Mathematik hier erst am Anfang.

[Bearbeiten] Syllogismen als binäre Verknüpfungen

Die Syllogismen werden hier noch einmal in einer binären Formulierung dargestellt. Für die Operanden der Formen gilt die minimale Bezugsmenge. Der Mittelbegriff bei den Syllogismen "M" ist mit der Bezugsmenge bei der Mengenalgebra "M" identisch.

Figur-1
1. Prämisse	2. Prämisse	Konjunktion	Konklusion	Modus
$\neg M \or P$	$\neg S \or M$	$\left(\neg M \or P\right) \and\left(\neg S \or M\right)$	$\neg S \or P$	barbara
$\neg \left(M \and P\right)$	$\neg S \or M$	$\neg \left(M \and P\right) \and\left(\neg S \or M\right)$	$\neg \left(S \and P\right)$	celarent
$\neg M \or P$	$S \and M$	$\left(\neg M \or P\right) \and\left(S \and M\right)$	$S \and P$	darii
$\neg \left(M \and P\right)$	$S \and M$	$\neg \left(M \and P\right) \and\left(S \and M\right)$	$S \and \neg P$	ferio

Figur-2
1. Prämisse	2. Prämisse	Konjunktion	Konklusion	Modus
$\neg \left(P \and M\right)$	$\neg S \or M$	$\neg \left(P \and M\right) \and\left(\neg S \or M\right)$	$\neg \left(S \and P\right)$	cesare
$\neg P \or M$	$\neg \left(S \and M\right)$	$\left(\neg P \or M\right) \and\neg \left(S \and M\right)$	$\neg \left(S \and P\right)$	camestres
$\neg \left(P \and M\right)$	$S \and M$	$\neg \left(P \and M\right) \and\left(S \and M\right)$	$S \and \neg P$	festino
$\neg P \or M$	$S \and \neg M$	$\left(\neg P \or M\right) \and\left(S \and \neg M\right)$	$S \and \neg P$	baroco

Figur-3
1. Prämisse	2. Prämisse	Konjunktion	Konklusion	Modus
$\neg M \or P$	$M \and S$	$\left(\neg M \or P\right) \and\left(M \and S\right)$	$S \and P$	datisi
$\neg \left(M \and P\right)$	$M \and S$	$\neg \left(M \and P\right) \and\left(M \and S\right)$	$S \and \neg P$	feriso
$M \and P$	$\neg M \or S$	$\left(M \and P\right) \and\left(\neg M \or S\right)$	$S \and P$	disamis
$M \and \neg P$	$\neg M \or S$	$\left(M \and \neg P\right) \and\left(\neg M \or S \right)$	$S \and \neg P$	bocardo

Figur-4
1. Prämisse	2. Prämisse	Konjunktion	Konklusion	Modus
$\neg P \or M$	$\neg \left(M \and S\right)$	$\left(\neg P \or M\right) \and\neg \left(M \and S\right)$	$\neg \left(S \and P\right)$	calemes
$\neg \left(P \and M\right)$	$M \and S$	$\left(\neg P \or M\right) \and \left(M \and S \right)$	$S \and \neg P$	fresison
$P \and M$	$\neg M \or S$	$\left(P \and M \right) \and \left(M \and S\right)$	$S \and P$	dimatis

Es fehlen vier Syllogismen. Sie sind mit den hier verwendeten Operationen nicht direkt nachzuvollziehen und werden deshalb gesondert behandelt. Es sind aus der Figur-3 die Modi darapti, felapton und aus Figur-4 die Modi bamalip, fesapo. Für eine nähere Betrachtung dieser Modi müssen zunächst die bereits gezeigten Gesetze einschließlich der Trichotomie näher betrachtet werden. Es fehlt nämlich noch der Beweis dieser 15 Syllogismen. Für die Beweise müssen unwiderlegbare Fakten , die Axiome bereitstehen. Die Grundlage bildet der Modus barbara, denn er kann allein über Größenvergleiche (Trichotomie) sehr leicht nachvollzogen werden.

[Bearbeiten] Beweis der Gültigkeit

Den Ausgangspunkt bildet der Modus barbara. Dieser Modus wird deshalb hier sehr detailliert dargestellt.

In der folgenden Tabelle gilt:

$S, \; P \subseteq M; \ m=|M|; \ s=|S|; \ p=|P|$

	Mengenrelation	Größenrelation	Werterelation
1. Prämisse	$\boldsymbol{M} \subseteq P$	$\boldsymbol{\|M\|} \leq \|P\|$	$\boldsymbol{m} \leq p$
2. Prämisse	$S \, \, \subseteq \boldsymbol{M}$	$\|S\| \, \leq \boldsymbol{\|M\|}$	$s \, \leq \boldsymbol{m}$
Konklusion	$S \, \, \subseteq P$	$\|S\| \, \leq \|P\|$	$s \ \leq p$

Dieser Modus ist sehr einfach in allen drei Darstellungen nachzuvollziehen. Die Bezugsmenge, die Bezuggröße und der Bezugswert ist in jeder Spalte fett dargestellt. Es wird jeweils nur der Bezug für Subjekt S und Prädikat P bereitgestellt. Weil die beiden Prämissen nun einen gemeinsamen Bezug haben, ist dieser Bezug in der Konklusion nicht erforderlich.

Am Ende des Abschnitts "Vorbereitung auf die erforderlichen Algebren" wurde auf mögliche Synonyme, die Nagation und die Umkehrung von Formen eingegangen. Mit diesen Möglichkeiten kann jede Figur in eine andere gewandelt werden, ohne die Konklusion zu ändern.

Ein Beispiel:

Der Modus festino aus der zweiten Figur hat in der Konklusion die o-Form. In der ersten Figur hat ferio die gleiche Konklusion.

	ferio	festino
Prämisse-1	MeP	PeM
Prämisse-2	SiM	SiM
Konklusion	SoP	SoP

Die Mittelbegriffe sind fett dargestellt, um die unterschiedlichen Positionen deutlich zu machen. Abgesehen von diesen Positionen ähneln sich die beiden Syllogismen. Jedoch handelt es sich bei den ersten Prämissen um völlig verschiedene Relationen.

Der Modus festino muss in die erste Figur überführt werden. Damit ist eine Umkehrung der ersten Prämisse nötig. Entsprechend der angeführten Tabele im Abschnitt "Vorbereitung auf die erforderlichen Algebren" gilt:

$P \ \boldsymbol{e} \ M \ = \ M \ \boldsymbol{e} \ P$

Die e-Form ist ihre eigene Umkehrung? Das muss überprüft werden. Die Mengenrelation lautet:

$M \subseteq \neg P \ \equiv \ P \subseteq \neg M$

Die beiden folgenden Tabellen zeigen die Korrektheit der Behauptung:

$M \$	$\neg P$	$M \subseteq \neg P$
$\{ \} \$	$\{ wahr \} \$	$\{ wahr \} \$
$\{ \} \$	$\{ \} \$	$\{ wahr \} \$
$\{ wahr \} \$	$\{ wahr \} \$	$\{ wahr \} \$
$\{ wahr \} \$	$\{ \} \$	$\{ \} \$

$P \$	$\neg M \$	$P \subseteq \neg M$
$\{ \} \$	$\{ wahr \} \$	$\{ wahr \} \$
$\{ wahr \} \$	$\{ wahr \} \$	$\{ wahr \} \$
$\{ \} \$	$\{ \} \$	$\{ wahr \} \$
$\{ wahr \} \$	$\{ \} \$	$\{ \} \$

Der Modus festino kann also durch einfaches Umdrehen der ersten Prämisse in den Modus ferio gewandelt werden. Es sei hier festgestellt, dass alle Figuren auf die gezeigte Art und Weise wandelbar sind. Diese Tatsache für jeden Syllogismus darzustellen würde allerdings wenig zum weiteren Verständnis beitragen.

Die Syllogisman können statt als Mengenrelationen auch in ihrer Booleschen Notation formuliert werden. Die wichtigste Form, die allen Syllogismen zugunde liegt, ist die a-Form.

$P \subseteq M; \ p \leq m; \ \neg p \or m; \ p \Rightarrow m$

Die beiden letzten Relationen sind entscheidend. Es handelt sich um eine Horn-Klausel, oder um die Implikation. Sie bildet die Grundlage für die logische Programmierung in Systemen wie Prolog.

Aufgabe:

Nachweis der Äquivalenz der Formen PeM und MeP nur unter Verwendung von Wertrelationen.

[Bearbeiten] Ein Hinweis auf Horn-Klauseln

Eine Hornformel ist gegeben, wenn die einzelnen Terme Disjunktionen sind und konjunktiv verknüpft werden. In den Disjunktionen darf nur ein Operand nicht negiert sein. Diese Disjunktionen sind Hornklauseln. Damit ist gesagt, dass eine Hornformel nur aus konjunktiv verknüpften Hornklauseln besteht.

Folgende Formel ist eine Hornformel:

$H = \left( \neg c \or \neg a \or d\right) \and \left( a \or \neg b\right)$

Die Formel scheint nicht die genanten Kriterien zu erfüllen. Das ist allerdings nur auf den ersten Blick so. Einige algebraische Umformungen liefern tatsächlich die geforderten Disjunktionen.

$\begin{align} H = & \left( \neg c \or \neg a \or d\right) \ \left( Zusammenfassen \ von \ \neg c \or \neg a \right)\\ \and & \left( a \or \neg b\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \left( Vertauschen \ von \ a \ und \ \neg b \right)\\ \end{align}$

Die Umsetzung der in den "Kommentaren" angegebenen Hinweise führt zu den Hornklauseln

$H = \left( \neg \left( c \and a \right) \or d\right) \and \left( \neg b \or a\right)$

Jetzt kann die asymmetrische Notation der Horn-Klauseln angewendet werden und es ergibt sich eine sehr übersichliche Hornformel.

$\begin{align} H = \left( \left( c \and a \right) \Rightarrow d \right) \and \left( b \Rightarrow a\right) \end{align}$

Mit diesen Hornformeln, die aus Hornklauseln aufgebaut sind, ist der Schritt von den Syllogismen zur Aussagelogik möglich. Zwei Kornklauseln stellen die Prämissen dar, das Ergebnis die Konklusion. Letztere hat zwar nur einen Wert und keine Form wie bei den Syllogismen, aber das ist im Augenblick noch nicht so wichtig. Hier musste gezeigt werden, dass Größenvergleiche die gleichen Resultate ergeben wie Verknüpfungen. Hornklauseln sind sowohl Größenvergleich als auch "wenn - dann"-Aussagen.

Es muss nun noch die Berechenbarkeit der bewiesen werden, um endgültig die 16 binären Grundfunktionen der dualen Aussagelogik mit 1 und 0 zu erhalten.

Aufgabe:

In der Hornformel H werden zwei Prämissen konjunktiv verknüpft.

Welchem Modus entspricht die angegebene Hornformel H?

[Bearbeiten] Arithmetisierung der Logik

Arithmetisierung hat etwas mit Berechnen zu tun. Es müssen also die Gesetze der Arithmetik (z.B. Punt- vor Strichrechnung) für die Berechnungen gelten. Im Abschnitt "Die Gesetze" wurden ähnliche Prioritäten für die Logik und die Mengen bereits dargestellt. Nun muss die Arithmetik damit in Einklang gebracht werden. Zunächst werden die Zahlenmengen für Definitions- und Wertebereich festgelegt.

Defintionsbereich = { 0, 1 }. Nicht das Intervall [ 0...1 ] ist gemeint!
Wertebereich = Definitionsbereich

[Bearbeiten] Berechnung der Negation

Die erste Operation in diesen Betrachtungen ist die Negation. Weder ihr Argument (zu negierende Aussage) noch das Ergebnis darf die Bereiche verlassen. Der Betrag der Bezusmenge bildet die Basis.

$M =\left\{ wahr \right\}; \ |M| = 1; \ m = |M| = 1$

Für jede Aussage A gilt

$A \subseteq M; \ |A| = \left\{0, \, 1\right\}; \ a = |A|$

Die Negation wurde bisher über die Bildung der Differenzmenge M\A durchgeführt. Eine Differenz sollte also auch bei der Berechnung über die Beträge vorhanden sein.

$\neg a = m - a = |M|-|A|$

Es ergeben sich also genau zwei Möglichkeiten, deren Werte nun genau auf Einhaltung der Bereiche untersucht werden.

$\|M\| \$	$\|A\| \$	$\|M\|-\|A\| \$
$1 \$	$0 \$	$1 \$
$1 \$	$1 \$	$0 \$

Weder der Definitions- noch der Wertebereich wird verlassen. Die Negation ist arithmetisiert.

Es empfiehlt sich, die Negation in dieser Formulierung stets als Klammerterm

$\neg a = \left( m-a \right) = \left( 1-a \right)$

zu werwenden. So wird vermieden, dass versehentlich die Bezugsmenge M an einem Ausdruck A negiert wird. Es sollte einleuchtend sein, dass Formulierungen wie

$\neg m = \left( a-m \right)$

unzulässig sind. Der Wertebereich kann mit dieser Operation verlassen werden.

[Bearbeiten] Berechnung der Konjunktion

Die Konjunktion ist hinsichtlich ihrer Priorität eine "Punktoeration". Das ergibt sich aus dem Abschnitt "Die Gesetze", denn dort ist sie von eindeutig höherer Priorität als die Disjunktion. Es liegt also nahe, bei der Berechnung einer Konjunktion die Multiplikation heranzuziehen.

$A, \; B \subseteq M; \ a=|A|; \ b=|B|$

$a \$	$b \$	$a \cdot b \$
$0 \$	$0 \$	$0 \$
$0 \$	$1 \$	$0 \$
$1 \$	$0 \$	$0 \$
$1 \$	$1 \$	$1 \$

Wieder hat sich die Vermutung als richtig erwiesen. Auch die Konjunktion ist arithmetisiert.

[Bearbeiten] Berechnung der Disjunktion

Die Disjunktion sollte also einer Strichoperation entsprechen. Weil die Subtraktion bereits bei der Negation verwendet wurde, bleibt die Addition übrig.

$A, \; B \subseteq M; \ a=|A|; \ b=|B|$

$a \$	$b \$	$a + b \$
$0 \$	$0 \$	$0 \$
$0 \$	$1 \$	$1 \$
$1 \$	$0 \$	$1 \$
$1 \$	$1 \$	$\color{Red} 2 \$

Der Wertebereich wird verlassen. Die Addition ist für die Bildung der Disjunktion nicht geeignet. Was tun? Was nicht getan wird ist: Schwellenwert einbeziehen, modulo 2 Addition, "Normierung" und Ähnliches. Es muss mit den bisherigen Operationen funktionieren!

Die De Morganschen Gesetze schaffen Abhilfe. Aus Konjunktion und Negation kann die Disjunktion gebildet werden. Die Negation der Argumente und die Negation des Ergebnsses macht aus der Operation "Schnittmenge bilden" die Operation "Vereinigungsmenge bilden". Die Bildung der Schnittmenge entpricht in ihrer Priorität der Multiplikation. Das wurde bereits bei der Konjunktion gezeigt.

$a \$	$b \$	$\neg \left(\neg a \cdot \neg b\right)$	Berechnung
$0 \$	$0 \$	$0 \$	$1- \left(\left(1-0\right) \cdot \left(1-0\right)\right)$
$0 \$	$1 \$	$1 \$	$1- \left(\left(1-0\right) \cdot \left(1-1\right)\right)$
$1 \$	$0 \$	$1 \$	$1- \left(\left(1-1\right) \cdot \left(1-0\right)\right)$
$1 \$	$1 \$	$1 \$	$1- \left(\left(1-1\right) \cdot \left(1-1\right)\right)$

Auch die Disjunktion kann berechnet werden. Auch Horn-Klauseln sollten kein Problem sein. Es fehlen noch drei unäre Funktionen, die über binäre Verknüpfungen hergeleitet werden.

Aufgabe:

Zeigen, dass die Disjunktion von a und b arithmetisch als