Kurs:Theoretische Mechanik

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Theoretische Physik 1 - Mechanik

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Fachbereich Physik

Fachbereich Physik

Theoretische Physik

Autor
  • Wolf (Student / wenig Zeit)
Korrektoren

N.N.

Literaturempfehlung
  • Nolting - Theoretische Physik 1
Weiterentwicklung

Sporadisch


Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Mathematische Grundlagen

[Bearbeiten] Einstein'sche Summenkonvention

Die Einstein'sche Summenkonvention wurde 1916 von Einstein als Mathematische Grundlage zur Allgemeinen Relativitätstheorie vorgeschlagen und wird mittlerweile hauptsächlich in der theoretischen Physik verwendet. Sie besteht darin, das Summenzeichen wegzulassen und stattdessen über in Produkten doppelt auftretende Indizes zu summieren. Dadurch reduziert sich der Schreibaufwand. Man sollte nur stets im Hinterkopf behalten, dass es sich trotzdem um Summen handelt.

Beispiele:

(\vec a, \vec b) = \sum_{i}a_ib_i = a_ib_i

(\vec b \times \vec c) = \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}b_jc_k \vec e_i=\varepsilon_{ijk}b_jc_k \vec e_i

\vec a\cdot(\vec b \times \vec c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k=\varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k


Weiterführendes:

[Bearbeiten] Tensoren

  • Ein Tensor n.Stufe hat 3n Elemente. Ein Tensor 2. Stufe also 32 = 9


[Bearbeiten] Levi-Civita-Symbol

Definition


  \varepsilon_{ijk\dots} :=
  \begin{cases}
    +1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
    -1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
    0,  & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
  \end{cases}
Levi-Civita-Symbol im R^3

Aber was heißt das? Das Levi-Civita-Symbol ist ein invarianter, total antisymmetrischer (Pseudo-)Tensor n-ter Stufe.

Im \mathbb R^3 gilt:

\varepsilon_{ijk} = \vec e_i (\vec e_j \times \vec e_k)

Daraus folgt:

\vec a(\vec b \times \vec c) = a_i \vec e_i(b_j \vec e_j \times c_k \vec e_k) = a_ib_jc_k \vec e_i(\vec e_j \times \vec e_k) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk} a_{i} b_{j} c_{k} = \varepsilon_{ijk} a_{i} b_{j} c_{k}

\varepsilon_{ijk} =\begin{vmatrix} e_{i,1} & e_{i,2} & e_{i,3} \\ e_{j,1} & e_{j,2} & e_{j,3} \\ e_{k,1} & e_{k,2} & e_{k,3} \end{vmatrix}

Die Herleitung der Determinantenschreibweise ist als Übungsaufgabe aufgelistet, die Lösung steht dabei.


Beispiel im \mathbb R^3:

Mit \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 als normale kartesische Einheitsvektoren:

Gerade Permutation: \varepsilon_{123} =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1)+(0 \cdot 0 \cdot 0)+(0 \cdot 0 \cdot 0)-((0 \cdot 1 \cdot 0)+(0 \cdot 0 \cdot 1)+(1 \cdot 0 \cdot 0)) = 1

Ungerade Permutation: \varepsilon_{132} =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}= (1 \cdot 0 \cdot 0)+(0 \cdot 1 \cdot 0)+(0 \cdot 1 \cdot 0)-((0 \cdot 0 \cdot 0)+(1 \cdot 1 \cdot 1)+(0 \cdot 0 \cdot 0)) = -1

Zwei gleiche Indizes: \varepsilon_{113} =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}= (1 \cdot 0 \cdot 1)+(1 \cdot 0 \cdot 0)+(0 \cdot 0 \cdot 0)-((0 \cdot 0 \cdot 0)+(0 \cdot 0 \cdot 1)+(1 \cdot 1 \cdot 0)) = 0

[Bearbeiten] Kronecker-Delta

Das Kronecker-Delta \!\,\delta_{ij} ist ein Tensor zweiter Stufe mit zwei Indizes, i und j. Es wird hauptsächlich in Summenformeln bei Vektor- und Matrizenrechnung verwendet.

Definition

\delta_{ij} := \left\{\begin{matrix}
 1 & \mbox{falls } i=j \\
 0 & \mbox{falls } i \neq j
\end{matrix}\right.

Daraus folgt im dreidimensionalem euklidischem Raum mit den Einheitsvektoren \vec e_i, \vec e_j:

\delta_{ij} = \vec e_i \cdot \vec e_j


Beispiel

\vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

für \!\,i = j = 1 folgt \delta_{11} = \vec e_1 \cdot \vec e_1 = (1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0) = 1

für i \neq j mit z.B. \!\,i=1, j=2 folgt: \delta_{12} = \vec e_1 \cdot \vec e_2 = (1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0) = 0

[Bearbeiten] Übungsaufgaben

Levi-Civita-und Kronecker-Delta
Hinweis: Da die Übungsaufgaben aufeinander aufbauen, bietet es sich an sie in der Reihenfolge 
zu bearbeiten.

1.) Zeige: \varepsilon_{ijk}=det(\vec e_i,\vec e_j,\vec e_k) Lösung

2.) Zeige: \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} -\delta_{jm}\delta_{kl} Lösung

3.) Zeige: \vec c(\vec a \times \vec b) = \vec a(\vec b \times \vec c) = \vec b(\vec c \times \vec a) Lösung

4.) Zeige: \vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b(\vec a, \vec c) - \vec c(\vec a, \vec b) Lösung

5.) Zeige: (\vec a \times \vec b)(\vec c \times \vec d) = (\vec a, \vec c)(\vec b, \vec d)-(\vec b, \vec c)(\vec a, \vec d) Lösung (Lösung fehlt noch!)

6.) Zeige: \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn} Lösung (Lösung fehlt noch!)

7.) Zeige: \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} = 6 (Lösung fehlt noch!)

[Bearbeiten] Differentialoperator


* Ein Differentialoperator ist kein Vektor im eigentlichen Sinne!
* Man kann Differentialoperatoren nicht kürzen oder mit ihnen erweitern!
* Existiert nur an Stellen, wo die Funktion nach allen Koordinaten stetig differenzierbar ist
* Satz von Schwarz für zweifach stetig differenzierbare Funktionen



[Bearbeiten] Nabla

Der Nabla-Operator bildet die partiellen Ableitungen einer Funktion nach den verschiedenen Koordinaten.

\nabla = \vec e_i\frac{\partial}{\partial x_i} = \vec e_i\nabla_i  = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n}
\end{pmatrix}

[Bearbeiten] Gradient

Der Gradient \nabla\,\varphi(\vec r), auch \operatorname{grad}\varphi(\vec r), ist als der Vektor, der durch das partielle Ableiten eines Skalarfeldes \varphi(\vec r) entsteht, definiert. Er existiert nur an den Stellen, wo das Skalarfeld \varphi(\vec r) nach allen Koordinaten partiell stetig differenzierbar ist.


Für ein Skalarfeld \varphi(x_1, \ldots , x_n) im n-dimensionalem euklidischem Raum gilt:


\operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi= \nabla_i \varphi \vec e_i = \frac{\partial\varphi}{\partial x_i} \vec e_i  = \begin{pmatrix}
\frac{\partial\varphi}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_n}
\end{pmatrix}

[Bearbeiten] Divergenz

Im n-dimensionalem euklidischen Raum gilt:


\operatorname{div}\,\vec A(\vec r)=\nabla\vec A(\vec r) = \sum_{i}^n \frac{\partial A_i(\vec r)}{\partial x_i} = \frac{\partial A_i(\vec r)}{\partial x_i} = \nabla_i A_i(\vec r)

[Bearbeiten] Rotor

Im n-dimensionalem euklidischen Raum gilt:


\operatorname{rot}\,\vec A(\vec r)=\nabla \times \vec A(\vec r) = \varepsilon_{ijk}\nabla_iA_j(\vec r)\vec e_k

Für \mathbb R^3 folgt:

\operatorname{rot\ }\vec A(\vec r)= \nabla \times \vec A(\vec r) = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_3(\vec r)}{\partial x_2} - \frac{\partial A_2(\vec r)}{\partial x_3} \\ \frac{\partial A_1(\vec r)}{\partial x_3} - \frac{\partial A_3(\vec r)}{\partial x_1} \\ \frac{\partial A_2(\vec r)}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1(\vec r)}{\partial x_2} \\ \end{pmatrix},

[Bearbeiten] Übungsaufgaben

Differentialoperatoren grad, div, rot
Hinweis: Alle Skalarfelder, Vektorfelder sind zweifach stetig differenzierbar.

[Bearbeiten] Koordinatentransformation

[Bearbeiten] Verschiebung (Translation)

Verschiebung

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[Bearbeiten] Drehung (Rotation)

Drehung gegen den Uhrzeigersinn


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[Bearbeiten] Raum, Zeit und Bewegung

[Bearbeiten] Newton'sche Dynamik

[Bearbeiten] Bewegung eines Massenpunktes

[Bearbeiten] Literatur

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