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Inhaltsverzeichnis

1 Anwendung
2 Arbeitsbegriff
3 Projektion
4 Projektion
5 Kosinussatz
6 Satz von Schwarz
7 Satz von Thales
8 Dreickes-Ungleichung

[Bearbeiten] Anwendung

[Bearbeiten] Arbeitsbegriff

Für eine ortsunabhängige Kraft $\vec F$ , die entlang eines geraden Weges $\vec s$ wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$W=\vec F \cdot \vec s = F \cdot s \cdot \cos\alpha\,,$

wobei $\alpha\,$ der Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges ist und F und s die Beträge der entsprechenden Vektoren sind.

Wenn die wirkende Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges angreift und konstant ist, dann vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

$W = F \cdot s\,.$

[Bearbeiten] Projektion

Eine Projektion eines Vektors x auf die Richtung eines anderen Vektors n. Diese Projektion meint das man die Anfangspunkte von a und n aneinanderheften soll. Das Lot von a auf n ergibt einen Schnittpunkt.

Die Projektion von a auf n ist ein Vektor mit den gemeinsamen Anfangspunkt von a,n und den Schnittpunkt als Endpunkt. Die Projektion gibt sozusagen den Anteil von n am Vektor a wieder.

Übung: Zerlege die Kraft $\vec F$ in einen parallelen Anteil zur Wirkungslinie also kolinear zu $\vec s$ .

Der Ausdruck sollte sein

$\vec F_{\|} = \frac 1 {F^2} ( \vec F \cdot \vec s) \vec F$

[Bearbeiten] Kosinussatz

Kosinussatz

$\vec c = \vec a - \vec b$

$c^2 = (\vec a -\vec b)^2 = a^2 -2 \vec a \cdot \vec b + b^2$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos \alpha$

Projektion, Norm

[Bearbeiten] Satz von Schwarz

Cauchy-Schwarzscher Satz

$\| \vec a \cdot \vec b \| \leq a \cdot b$

$0 \leqq (\vec a + \alpha \vec b) \cdot (\vec a + \alpha \vec b)$

$a^2 + \alpha^2 b^2 + \alpha \vec b \cdot \vec a + \alpha \vec a \cdot b$

$a^2 + \alpha^2 b^2 + 2 \alpha \vec a \cdot \vec b$

$\alpha \in \mathbb{R}$

$\alpha = - \frac{\vec a \cdot \vec b} {b^2} \in \mathbb{R}$

$0 \leq a^2b^2 - (\vec a \cdot b)^2$

[Bearbeiten] Satz von Thales

Übung: Zeige den Satz von Thales. Hinweis: Identifiziere dabei die Terme in $(\vec a + \vec b) \cdot (\vec b - \vec a)$ mit den geometrischen Größen im Satz.